10.3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ИГРЫ «ШОФЕР-УБИЙЦА» КАК ИГРЫ СТЕПЕНИ

Термин предварительное применен к интегрированию уравнений характеристик в регрессивной форме с начальными условиями на для получения траекторий, заканчивающихся

в соответствующих точках. В большинстве случаев такое предварительное интегрирование играет важную роль, и если при этом не встречаются сингулярные поверхности, то оно дает полное решение.

Настоящая задача представляет исключение, так как предварительное интегрирование имеет второстепенное значение. Оптимальные траектории в правой полуплоскости показаны на рис. 10.3.1. Там же начерчены кривые постоянного значения

Рис. 10.3.1.

Для простоты предположим, что — окружность с центром в точке О.

Мы знаем, что если начальное расстояние между достаточно велико, преследование достигнет кульминации, когда х окажется на универсальной поверхности на оси у. Интерпретация в исходном пространстве нам известна: преследует по прямой до тех пор, пока не произойдет захвата, когда встретится с верхней точкой кривой (точка С на рисунке).

Траектории предварительного интегрирования составляют исключение. Для начальных положений достаточно близких к точке О и не слишком удаленных от направления движения захват осуществим лишь с помощью крутого поворота. Траекторией будет прямая, оптимальное направление которой таково, что точка входит в перпендикулярно в смысле относительного движения обоих игроков.

Нетрудно показать, что удовлетворяется принцип огибания (см. § 8.8): барьер касается кривых постоянного значения

V и является оптимальной траекторией для задачи захвата с минимаксом времени.

Задача 10.3.1. Мы утверждали, что оптимальные траектории входят в допустимую область перпендикулярно к Сам же барьер, также являясь оптимальной траекторией, касается Объяснить это кажущееся противоречие с точки зрения непрерывности оптимальных стратегий и обобщить.

Перепишем для удобства уравнения движения

где скорость игрока скорость игрока минимальный радиус поворота

Для имеем

и пространство игры есть область в плоскости х,у, внешняя к этой окружности.

Учтя опыт решения подобных задач, мы опустим детали интегрирования и приведем некоторые результаты без доказательства.

Допустимая область в задается условием

где

Оптимальные траектории имеют вид

где удовлетворяет условию (10.3.1) и

Кривые постоянного значения V представляют собой дуги окружностей с центрами в точках и с радиусами Огибающей для них служит дуга кривой которая в то же время является оптимальной траекторией при

Упражнение 10.3.1. Доказать эти утверждения.

Проблема 10.3.1. Хотя на рис. 10.3.1 показан случай, когда барьеры не пересекаются, наши рассуждения, разумеется, применимы и к тому случаю, когда они пересекаются. Какое отношение имеет точка А, где все траектории пересекаются к точке пересечения барьеров? Другими словами, если барьеры пересекаются и существует только небольшая ограниченная зона захвата, то заполнена ли она предварительными траекториями или часть этой зоны заполняет также универсальная кривая с ее притоками?