2.7. КАНОНИЗАЦИЯ ВЕКТОГРАММ

В теории дифференциальных игр, как и в других областях анализа, иногда удобно произвести некоторую замену переменных. Например, если -гладкая поверхность, всегда можно выбрать фазовые координаты так, чтобы терминальное множество лежало на поверхности, где Но сейчас мы будем говорить о таком преобразовании управлений, которое приведет вектограммы к некоторым довольно удобным каноническим формам.

Мы будем предполагать, что размерность управлений не является избыточной, а именно: каждой точке, скажем, -вектограммы соответствует только одно множество величин этого следует, что

Другое довольно очевидное требование к вектограммам таково. Они должны позволять х перемешаться во всем а не ограничивать область изменения его подмножеством меньшей размерности В последнем случае мы можем переформулировать задачу, взяв в качестве это подмножество.

Пример 2.7.1. Пусть Уравнения движения имеют вид

где

то из известного результата классического анализа следует, что покрыто семейством поверхностей, в касательных плоскостях к которым лежат векторы Тогда точка х должна всегда оставаться на той же самой поверхности, на которой она находилась вначале, и мы можем принять эту поверхность за область игры

Назовем вектограмму выпуклой, если любая линейная комбинация ее элементов где принадлежит ей.

Менее тривиально, чем предыдущие,

Предположение о выпуклости. Все -вектограммы и -вектограммы выпуклы.

Если это предположение нарушается, решение может не существовать. Мы не отказываемся от рассмотрения таких игр, но заменяем их другими, в которых и -вектограммы представляют собой выпуклые оболочки прежних вектограмм, т. е. новые вектограммы являются наименьшими выпуклыми вектограммами, содержащими прежние. Если новую игру можно решить, ее решение даст существенные сведения о первоначальной игре.

Поясним сказанное примером.

Пример 2.7.2. В этой игре отсутствует так что на самом деле это скорее задача минимизации, чем игра. Здесь часть плоскости над кривой (рис. 2.7.1).

Рис. 2.7.1.

Вектограммы одни и те же для всех х; одна из них нарисована. Пусть высшая точка кривой начинает движение из прямо над и достигает в кратчайшее время. Ясно, что решением является зигзагообразная траектория, которая получается при использовании крайних значений скорости. Таких траекторий здесь будет много.

Пример 2.7.3. Обозначим через вертикальную линию, проходящую через Изменим задачу, считая теперь, что вектограммы сохраняют свою форму, но уменьшаются по величине с увеличением расстояния от Тогда ясно, что двигаясь по

пилообразной траектории, действует тем лучше, чем ближе траектория прижимается к Решения не существует.

Заменим теперь вектограммы их выпуклыми оболочками. Тогда игра имеет решение: движется вдоль к точке Понятно. в каком смысле это решение аппроксимируется решениями первоначально сформулированной задачи. Итак, заменяя в случае необходимости вектограммы их выпуклыми оболочками, можно преодолеть трудности вышеупомянутого типа и с помощью полученного решения легко интерпретировать рассматриваемую игру.

Если является элементом некоторой -вектограммы, то где также является ее элементом в силу предположения о выпуклости вектограмм. Но оказывается, что для большинства практических задач стратегии, соответствующие таким векторам, не оптимальны. Например, в задачах о движущихся объектах нас интересует лишь наилучшее направление скорости, а оптимальность стратегии почти всегда приводит к максимально допустимому значению ее величины. Поэтому во многих рассматриваемых задачах не нужно требовать выпуклости вектограммы в этом смысле (их всегда можно сделать такими, вводя новое управление типа вышеупомянутого с, но оптимальное значение с, как правило, равно 1), однако вектограммы обязаны иметь выпуклое замыкание по отношению к векторам различных направлений.

Сформулируем теперь

Предположение о замкнутости. Все и -вектограммы замкнуты.

Основания для такого предположения аналогичны основаниям для предположения о выпуклости. Если имеется, например, сходящаяся последовательность членов -вектограммы, на которых значения платы увеличиваются, то это означает, что практически решение игры отсутствует. Тогда разумно включить в вектограмму предельное значение скорости, которое мы предполагаем оптимальным. Тем самым трудности подобного рода преодолеваются.

Подобно тому как раньше, встречаясь с игрой, имеющей невыпуклую вектограмму, мы заменяли эту вектограмму ее выпуклой оболочкой, так теперь вместо незамкнутых вектограмм будем брать их замыкания и исследовать последние.

Мы можем, следовательно, считать, что длина векторов в любой вектограмме ограничена, ибо в противном случае из предположения о замкнутости следовало бы существование векторов бесконечной длины. Тогда решение задачи об оптимальной стратегии оказалось бы паталогическим или тривиальным. Поэтому бесконечную скорость вместе с некоторой ее окрестностью можно удалить из вектограммы, не потеряв при этом ничего существенного.

Из всего этого следует, что

Все и -вектограммы предполагаются замкнутыми и ограниченными и, следовательно, компактными.

Теперь мы приходим к нужному нам результату.

Ограничения на управления можно считать постоянными.

То есть если, например,

то не зависят от х. В самом деле, каждая вектограмма по предположению есть компактное, связное (ввиду ее выпуклости) множество, а из общих допущений относительно следует, что эти множества гладко меняются вместе с х. Тогда мы можем найти гладкое отображение множеств векторов в единичный куб -мерного евклидова пространства; это отображение задается гладкими функциями от х. Принимая эти функции за новые получаем (2.7.1), где Аналогично можно поступить и с -вектограммой.

В играх с терминальной платой, где имеет значение лишь состояние х в момент окончания игры, изменение масштаба времени существенно не меняет задачу. Можно даже менять ею локально, т. е. от точки к точке. Формально это равносильно умножению правых частей уравнений движения на одну и туже положительную функцию от х, т. е. обычные уравнения движения заменяются уравнениями

Поскольку вид траекторий не меняется и стратегии приводят к той же плате, что и раньше.

Так как мы можем считать вектограммы ограниченными, можно взять такую функцию что при каждом х ее произведение на самый длинный из членов полной вектограммы ограничено на всем Таким образом, можно утверждать, что

Игры с терминальной платой допускают такое преобразование, что полученная в результате игра эквивалентна прежней и имеет вектограммы, равномерно ограниченные на всем