10.4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ И ЕЕ ПРИТОКИ

Мы уже видели в примере 7.13.2, что ось у над точкой С является универсальной поверхностью, а других универсальных поверхностей нет. Она и ее притоки соответствуют наиболее очевидному и наиболее типичному положению в игре. Как показано на рис. 10.4.1, а, Р сначала разворачивается насколько возможно круто, пока его скорость не станет направлена на и затем движется по прямой; в течение всего этого времени движется по одной и той же прямой, которая касается окружности минимального радиуса, проведенной через начальное положение Это было доказано в примере 7.13.2.

Лемма 10.4.1. В области, заполненной притоками универсальной кривой, кривые, на которых функция V постоянна, являются эвольвентами пары окружностей поворота.

(Под «парой» мы подразумеваем следующее: если эвольвента начерчена, как обычно, путем разматывания нерастяжимой нити, то объединения двух окружностей служат тем неподвижным твердым телом, с которого сматывается нить, как это показано на рис. 10.4.1, в.)

Доказательство. Мы знаем, что направлением убегания служит касательная (здесь порождающая «нить»). Из основного уравнения следует, что оптимальное направление нормально к кривым постоянного значения Наш результат доказывается с помощью простого факта из теории дифференциальных уравнений.

В дополнении к этой главе содержится анализ, относящийся к области, заполненной притоками универсальной кривой.

Проблема 10.4.1. Допускают ли оптимальные траектории — притоки универсальной кривой — столь же простую геометрическую интерпретацию?

Оптимальные траектории изображены на рис. 10.4.1, б. Одна из них, проходящая через В, конец барьера, пересекает отрицательную часть оси у в точке Из каждой точки оси, лежащей не выше выходят две оптимальные траектории — правая и левая. Такие точки образуют тем самым рассеивающую поверхность. В исходном пространстве они соответствуют положениям, в которых находится точно позади

Рис. 10.4.1

Простой способ игры, подобный изображенному на рис. 10.4.1, а, оптимален, но оба игрока поставлены перед выбором между правой и левой стратегиями, и задача состоит в отгадывании решения другого. Такое типичное положение, требующее мгновенной смешанной стратегии, уже обсуждалось в гл. 6.

На рис. показано все, что входит в полученное до сих пор решение игры «шофер-убийца» в случае, когда барьеры не пересекаются.

Теперь займемся большой пустой областью в которая еще не затронута нашим решением. Она ограничена сверху

кривой и недопустимой областью кривой а снизу дугой траектории Для начальных положений, лежащих в этой области, таких, как точка на рисунке, оптимальной стратегией по интуитивным соображениям должен быть маневр разворота. Если это так для таких точек, как то должен начать с крутого поворота влево, а тогда скорость в точке будет такой, как указано на рисунке. Это, по-видимому, приведет к тому, что в конце концов х пересечет и окажется в уже изученной области. Но где произойдет переключение? Этот вопрос оказывается далеко не простым; им мы сейчас и займемся.