9.3. ИГРА «ИЗОТРОПНЫЕ РАКЕТЫ»

Вернемся к задаче, решенной в § 5.5 со временем захвата в качестве платы, и построим для нее барьер. На этот раз мы сможем найти точный критерий Для возможности избежания захвата, хотя строгое доказательство некоторых деталей

окажется незавершенным. Мы, как и прежде, будем использовать редуцированные координаты х, у, v (см. рис. 9.3.1, а), но теперь вместо заглавных будем писать строчные буквы.

Рис. 9.3.1.

Кроме того, мы не будем учитывать силу трения; хотя при этом и допускается неограниченная скорость для зато задача выигрывает в простоте математических выкладок, не изменяясь в принципе.

Выведенные уже уравнения движения имеют вид

Редуцированное пространство с условиями показано на рис. 9.3.1, б. Как обычно, через I обозначен радиус круга захвата. Параметризуем следующим образом: Полагая находим допустимую область. Вычислим сперва

Тогда граница допустимой области на удовлетворяет условию

Если смотреть вдоль оси х, то граница допустимой области спроектируется в гиперболу

Используя в качестве параметра запишем уравнения границы допустимой области:

Остальные начальные условия для построения барьера легко выводятся из того, что должно быть ортогонально к границе допустимой области и должно удовлетворять приведенному ниже основному уравнению в форме (4.2.3). Итак,

Основное уравнение (4.2.1) имеет вид

где Положив далее

получим

и основное уравнение (4.2.3)

Запишем уравнения характеристик:

Интегрирование этой системы с приведенными выше начальными условиями связано с обычными затруднениями. В результате, обозначив до, получаем

Знак соответствует правой части пространства У, а знак — соответствует левой части. В силу симметрии можно ограничиться правым барьером и взять знак Из этих формул следует, что

Как и следовало ожидать, Но, кроме того, заметим, что если

или, что то же, если

то

Если выполнено соотношение (9.3.5), то соответствующие траектории для малых идут внутрь и, следовательно, бесполезны для построения барьера. Обозначим точки границы допустимой области, соответствующие началу этого явления, через Координаты их таковы: для

Следующий результат состоит в том, что в точках траектории касаются границы допустимой области.

Касательное направление к границе допустимой области получаем, дифференцируя (9.3.2) и полагая

Однако в точках имеем

а эти два вектора коллинеарны.

Критерий возможности избежания захвата состоит в том, чтобы две части барьера пересекались или чтобы существовало такое значение что В силу (9.3.3) это означает, что уравнение

имеет положительный корень. Значит дискриминант должен быть положительным. Это условие достаточно, поскольку за можно принять минимальный и, очевидно, положительный корень

Отсюда следует, что

Этот критерий нуждается в доказательстве.

При выполнении условия (9.3.7) назовем линию пересечения барьеров гребнем. Интересна его форма. Если подставить значение из (9.3.6) вместо в выражения для в формулах (9.3.3), то после несложных преобразований мы получаем

Итак, гребнем служит прямая линия, проходящая через начало координат в плоскости с наклоном заданным выражением (9.3.6).

В случае выполнения (9.3.7) наши исследования приводят к барьеру, показанному на рис. 9.3.2.

Построенный таким образом барьер имеет вид заостренного тента бесконечной длины. Но правый (для данного рисунка) конец барьера открыт, поскольку за точками изложенный метод построения барьера неприменим. Какая же полупроницаемая поверхность закрывает это отверстие? Оказывается, что этот вопрос наиболее трудный в данной задаче. Ответ на него будет приведен ниже.

Замечания о возможности отступления в сторону, возникавшие при обсуждении игры «шофер-убийца», применимы и здесь. Нет необходимости вновь доказывать, что пересечение барьеров означает для возможность избежать захвата,

Введем в рассмотрение трение. Напомним, что функция есть радиус цилиндра, который является частью поверхности Справедлив принцип огибания (§ 8.8); барьеры служат огибающими этих цилиндров.

Рис. 9.3.2.

Итак, пересечение барьеров эквивалентно тому, что радиус где-то обращается в нуль. Следовательно, условие

является обобщением условия (9.3.7).

Упражнение 9.3.1. Показать, что при наличии трения критическое условие, разграничивающее возможность захвата и возможность избежания его, имеет вид

Замена знака знак означает захват. Показать, что при это условие сводится к предыдущему

Проблема 9.3.1. Мы ничего не говорили об окончании барьеров. Если условие возможности избежания захвата (9.3.7) не

выполнено, то следует ожидать, что барьеры выделяют те положения, в которых приходится прибегать к чему-то, аналогичному маневру разворота; и действительно, это подтверждает рис. 5.5.5. Итак, в этом случае естественно ожидать, что барьеры кончаются.

Рис. 9.3.3.

Рассмотрим уравнение барьера (9.3.3) и составим матрицу порядка :

Исследуем возможность того, что ее ранг окажется меньше 2. Это выполняется при условии

Заметим, что для подкоренное выражение положительно и

это означает, что образование гребня происходит до момента времени Кончается ли барьер при Если то каковы кинематические причины этого?

Задача 9.3.1. «Монотропная ракета». Исследовать игру с одним игроком, отличающуюся от изучавшейся выше только тем, что вектор силы (длины F) направлен прямо по курсу ракеты. В этом случае должен двигаться по прямой и лишен какой бы то ни было свободы.

Граница допустимой области будет такой же, как прежде, но теперь траектории, образующие барьер, будут неприменимы при где есть корень трехчлена

Тем не менее естественный барьер оказывается замкнутым с правого конца (см. рис. 9.3.3).

Получить этот результат как часть полного решения. Каково кинематическое значение траекторий, начинающихся в недопустимой области?