ГЛАВА 5. Основные примеры; поверхности переключения; интегральные ограничения
Дальнейшее развитие теории, приведенное в этой главе, даст возможность приступить к решению основных примеров. Вначале мы исследуем один тип нерегулярного поведения на поверхностях, называемых поверхностями переключения; мы приведем метод расчета этих сингулярных поверхностей, который потребуется при рассмотрении последующих задач.
Наш первый пример аналогичен классической задаче о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил перед математическим миром задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска. Ньютон, Лейбниц, Лопиталь, Эйлер и сам Бернулли получили ее решение; так зародилось вариационное исчисление.
Как известно, эта задача формулируется так. Материальная точка под действием силы тяжести спускается без трения из заданной точки в какую-то другую, расположенную ниже. Если при этом она вынуждена двигаться по некоторым кривым, то какая из них минимизирует время спуска? Местом назначения может быть не точка, а некоторая кривая.
Теперь вместо материальной точки, спускающейся по предписанным маршрутам, представим себе объект, управляемый пилотом, который в каждый момент может свободно менять направление движения объекта. Модуль скорости его при этом равен 
можно считать, что пилот располагает круговой вектограммой.
Предположим, что имеется второй игрок со своей вектограммой, цель которого — замедлить время спуска пилота. Так мы оказываемся в области теории игр. Задачу нашу по аналогии с классическим случаем назовем задачей о долихобрахистохроне.
После исследования этой задачи в § 5.3 будет дан общий ответ на вопрос о том, каково соотношение между дифференциальными играми и классическим вариационным исчислением.
Второй основной пример этой главы представляет собой упрощенный вариант одной из главных задач военной политики: как должны противники распределять свои усилия в затяжной войне — уничтожать ли источники, снабжающие
противника оружием, или непосредственно атаковать военные объекты. Даже для принятой нами простой модели этой игры решение далеко не очевидно, по крайней мере количественно. Мы еще раз рассмотрим эту задачу в гл. 11 и обсудим ее связь с действительностью; в частности, § 11.9 содержит видоизмененный вариант этой же задачи, решение которого весьма отличается от приведенного в этой главе.
Приведенная в § 5.5 задача «изотропные ракеты» является игрой преследования, где 
выбирает направление своей движущей силы, а 
обладает простым движением. Как и в игре «шофер-убийца», при некоторых обстоятельствах здесь возможен «маневр разворота», но в отличие от той игры решение задачи «изотропные ракеты» в общем гладкое, а не разделенное сингулярными поверхностями.
Последний из рассматриваемых в этой главе примеров демонстрирует применение наших методов к экономическому планированию. Игры одного игрока можно рассматривать, считая одного из противников пассивным; тогда задача сводится к прямой оптимизации. Приведенный пример является идеализированной картиной процесса производства стали, где имеющиеся ресурсы должны быть распределены между собственно производством стали, строительством прокатных станов и созданием запасов; нужно найти распределение, максимизирующее запас стали к окончанию срока планирования.
В конце главы дано описание техники решения для случаев, когда по крайней мере один из игроков подчинен ограничению, состоящему в том, что вдоль траектории должен сохранять постоянное значение интеграл от некоторой функции, зависящей от 
такая задача аналогична классической задаче на условный экстремум в вариационном исчислении. Недостаток места не позволяет привести здесь новые варианты знаменитых задач, но в дополнении мы все же привели игру «бомбардировщик и батарея», где успешно применили высказанные соображения.
