ГЛАВА 1. Введение

Настоящее введение предшествует строгому математическому описанию теории дифференциальных игр.

1.1. ТЕОРИЯ ИГР

Со времени создания теории игр Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном прошло всего несколько лет В их работе [15] были введены такие основные понятия, как стратегия, цена игры и, по-видимому самое главное, обоснован эффективный путь для отыскания оптимальной стратегии, которая может быть как чистой, так и смешанной.

Предполагается, что читатель знаком с таким понятием, как игра двух лиц с нулевой суммой, но в дальнейшем специальные знания теории игр понадобятся не часто В нашей книге по ходу изложения будут даны все необходимые сведения, и хотя без основополагающей работы фон Неймана и Моргенштерна книга вряд ли могла бы появиться, однако идеи этой работы будут для нас скорее образцом, чем рабочим аппаратом.

С самого начала теория игр по общему признанию стала классической наукой, вызвав появление целого потока статей и книг. По временам казалось, что теория игр совершит переворот в ряде прикладных областей, особенно в военном деле и экономике.

Однако эти нацежды не оправдались, по крайней мере в областях, которые нам хорошо знакомы Каковы же причины крушения этих надежд

По-видимому, их две Одна состоит в возросшей трудности задач, когда — и это есть сущность теории игр — имеются два противника с противоположными целями и каждый должен принять наилучшее возможное решение, понимая и принимая в расчет, что его противник сделает то же самое Такая ситуация целиком отличается от той, которая возникает в соответствующих задачах классического анализа, ибо последние, как мы увидим в гл 3, можно отнести к играм с одним игроком Дополнительные трудности, связанные с наличием двух игроков, могут оказаться весьма существенными.

Второй причиной является отсутствие методов, приводящих к окончательным результатам Основная масса работ по теории игр касается, как правило, общих теорем и результатов, часто на высоком математическом уровне, но мало приспособленных к решению практических задач. Такие решения, как уже говорилось, получить нелегко, но даже если это и не так, подобные цели обычно даже не ставятся Современные математики тяготеют к более абстрактным и общим положениям.

Этот вопрос обсуждается в гл. 11 в связи с военными приложениями. За исключением некоторых параграфов, гл. 11 можно читать независимо от предыдущих глав в виде дополнительного введения.

Почти все элементарные введения в теорию игр начинаются с матричных игр и связанных с ними понятий Это прекрасный подход к формулировкам и доказательствам основных теорем, без которых теория игр не могла бы существовать. Но матрицы, за исключением некоторых очень простых моментов, являются неподходящим средством для получения окончательного решения реальной игры, поскольку недостаточно точно описывают ситуацию. Теоремы, которыми мы располагаем, отнюдь не являются завершением теории, а для таких целей, как получение явных решений, они совершенно непригодны.

Если не считать крайне простых игр — скажем, таких, когда решение каждого игрока состоит в выборе либо из малого числа дискретных возможностей, либо из континуума с элементарной логической структурой, — матрицы, как правило, оказываются астрономических размеров.

Если бы существовал метод получения решения средствами математического анализа, то игра должна была бы иметь внутреннюю логическую структуру, поддающуюся такому анализу Эта мысль, строгое объяснение которой нам всегда казалось затруднительным, более подробно развита в гл. 3, и читатель при желании можег обратиться к ней уже сейчас.

Определение понятия дифференциальных игр будет связано со следующей концепцией. Само название «дифференциальные игры» предполагает, что в качестве основного подхода к задачам теории игр используются такие средства классического анализа, как дифференциальные уравнения В основном так оно и есть Однако мы предпочитаем представлять себе нашу теорию

как такую, которая исследует игры, где противники принимают длинный ряд последовательных — дискретных или непрерывных — решений, которые так логически связаны друг с другом, что эта связь может послужить основой наглядной и поддающейся счету модели.