8.4. ОКОНЧАНИЕ БАРЬЕРОВ

Может случиться, что полупроницаемая поверхность внезапно обрывается, причем ни одну траекторию нельзя продолжить непрерывным образом за определенную кривую на этой поверхности, так что последняя остается полупроницаемой.

Следующие примеры подтверждают, что явления такого рода действительно имеют место.

Пример 8.4.1. Пусть уравнения движения имеют вид

проведем полупроницаемую поверхность через Напишем основное уравнение

из него следует, что

Теперь запишем уравнения характеристик

В качестве начальных условий возьмем а также . Они являются подходящими, потому что здесь

и основное уравнение удовлетворяется.

Поскольку уравнения характеристик здесь имеют вид

их интегрирование дает

Таким образом, для при этом траектория представляет собой вертикальный отрезок, проведенный из точки в точку Здесь А меняет знак, и продолжению этой функции должно соответствовать что превращает уравнения характеристики в уравнения

Если теперь то и новая траектория, если таковая имеется, направляется вниз, в обратном направлении повторяя старую. Поскольку направление нормали не меняется в точке «стыковки», а направление движения меняется, то, следовательно, меняется ориентация, и полупроницаемую кривую нельзя продолжить.

С другой стороны, если интегралы уравнений (8.4.1) определяют продолжение вертикального отрезка, удовлетворяющее требованиям полупроницаемости. Читатель легко может

убедиться, что оно задается уравнениями

является дугой параболы, гладко соединенной с основанием вертикального отрезка, и образует вместе с ним единую полупроницаемую поверхность.

Упражнение 8.4.1. С помощью вектограмм интерпретировать этот пример геометрически.

Еще проще продемонстрировать явление окончания барьера на следующем примере.

Пример 8.4.2. Пусть уравнения движения имеют вид

вектрограммы изображены на рис. 8.4.1. Если то одна из выделенных стрелок (в зависимости от ориентации) касается полупроницаемой поверхности, так как все остальные векторы лежат по одну сторону от выделенных.

Рис. 8.4.1.

Напротив, если ясно, что ни одного такого направления не существует.

Пусть в одной части плоскости и в другой. Для первой части можно нарисовать полупроницаемые поверхности. Если бы какая-нибудь из них доходила до той части плоскости, где то здесь она должна была бы немедленно оборваться.

Упражнение 8.4.2. Написать для этого примера основное уравнение, уравнения характеристик и получить предыдущие выводы аналитически. Построить решение для какого-нибудь конкретного случая.

Наконец продемонстрируем один типичный пример на задаче игроков. Более подробный анализ таких задач составляет содержание гл. 10.

Пример 8.4.3. Примем за верхнюю полуплоскость и пусть имеет вектограмму изображенную на рис. 8.4.2, а. Базовая линия (линия концов векторов вектограммы) вертикальна, и половина высоты ее равна постоянному значению в то время как горизонтальная компонента есть функция Круговая вектограмма постоянного радиуса принадлежит Сложение этих вектограмм порождает уравнения движения

Функция - положительная и гладкая, возрастающая при Для некоторого имеем так что лишь при

Проведем полупроницаемую поверхность через начало области избежания захвата, лежащей слева. Вскоре мы узнаем, что она имеет такой вид, как на рис. 8.4.2, б, соединяет точку с точкой В, где

Для нарисуем окружность с центром в точке радиуса (рис. 8.4.2, а). Покажем, что касательная к этой окружности есть искомое полупроницаемое направление в точке Предположим сначала, что выбирает Тогда все суммарные векторы скоростей, зависящие от выбора начинаются в X и оканчиваются на окружности; ясно, что ни один из них не проникает сквозь в направлении, указанном стрелкой. С другой стороны, если выбирает направление то может выбрать лишь векторы, проведенные из (здесь получен параллельным переносом и тогда ни один из суммарных векторов не проникает в обратном направлении. Следовательно, направление полупроницаемо.

Теперь предположим, что так что Тогда (см. рис. 8.4.2, г) отрезок лежит с той же самой стороны от что и окружность, и полупроницаемость исчезает. В этом случае не найдется ни одного полупроницаемого направления.

В полосе направление определено в каждой точке X, т. е. мы имеем поле направлений. Классическая теория

дифференциальных уравнений позволяет нам провести кривую, проходящую через и имеющую касательную в каждой своей точке; примерный график ее показан на рис. 8.4.2, б. Заметим, что в точке В касательная вертикальна,что с очевидностью следует из рассмотрения векторной диаграммы на рис. 8.4.2, в.

Рис. 8.4.2. (см. скан)

Задача 8.4.1. Исследовать этот пример аналитически и подтвердить полученный выше результат с помощью приведенного в § 8.3 способа.

Упражнение 8.4.3. Показать, что дифферент сальное уравнение, которому удовлетворяет барьер, для имеет вид

и получить уравнение барьера для случая

так что

[Уравнение (8.4.2) можно легко вывести, заметив, что требование нормальности означает

и отношение, записанное в правой части, можно непосредственно получить из основного уравнения