2.2. ЕСТЕСТВЕННОЕ И РЕДУЦИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВА

Когда мы строим модель игры исходя из физического прототипа, множество фазовых координат, вообще говоря, должно быть таким, чтобы можно было получить непосредственное и исчерпывающее описание ситуации. Однако число размерность пространства может оказаться для этого слишком большим. Часто разумным выбором фазовых координат число может быть понижено. В тех случаях, когда это удается сделать, мы будем говорить о редуцированном пространстве. Для него будет сохранено обозначение как и для первоначального пространства, которое мы будем называть естественным. И в том и в другом случаях будет означать размерность.

Преимуществами редуцированного пространства с его пониженным числом фазовых координат является меньшая избыточность и простота записи. Так, если можно сделать равным 3 или меньше, удобство геометрической наглядности подчас оказывает большую помощь в запутанных ситуациях. Но имеются также соображения в пользу естественного пространства. Уравнения движения, хотя и более многочисленные, здесь иногда выглядят много проще. Если задача касается движущихся объектов, их траектории в естественном пространстве являются реальными траекториями; в редуцированном же пространстве даже такое простое движение, как перемещение по прямой линии с постоянной скоростью, может казаться неузнаваемо сложным.

Пример 2.2.1. Если в примере 1.9.2 защищаемый объект представляет собой полуплоскость, лежащую, скажем, ниже оси х, можно получить трехмерное редуцированное пространство вместо четырехмерного, как в примере 2.1.1.

Если положить то ясно, что знания значений вполне достаточно для описания состояния игры. Тогда получим следующие уравнения движения (положив если это условие имеет место, как, скажем, в примере 1.9.2):

Упражнение 2.2.1. В предыдущем примере показать, что если защищаемым объектом является окружность радиуса

с центром в начале координат, то можно уменьшить до 3; написать соответствующие уравнения движения.

Упражнение 2.2.2. Показать, что в примере 1.9.1 можно найти одномерное редуцированное пространство.

Заметим, что такое сокращение размерности может быть невозможным, если естественное пространство неоднородно; например когда скорости перемещения игроков являются функциями от х и у

Пример 2.2.2. Игра «шофер-убийца». Эта игра допускает понижение размерности пространства игры с 5 до 2. Представим себе, что на плоскости выбрана подвижная система координат, связанная с автомобилем Координаты пешехода х, у можно рассматривать в этой системе как составляющие единственного переменного вектора х; ось у будем считать всегда направленной вдоль вектора скорости автомобиля.

Пусть в момент выбирает центр кривизны своей траектории в точке и пусть расстояние равно (рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1

Тогда вращение вокруг точки С эквивалентно вращению х вокруг С в противоположном направлении, но с той же угловой скоростью. Таким образом, вектор х движется со скоростью, равной по модулю в направлении, перпендикулярном Составляющие его скорости получаются умножением модуля соответственно на Уравнения движения имеют вид

(здесь , разумеется, не то же самое, что в естественном пространстве).

Обозначим через окружность радиуса с центром в точке и возьмем в качестве часть плоскости х, у, внешнюю к (см. § 2.3). Заметим, что если движется по прямой, а отклоняется от прямого пути, то будет зависеть от времени. Это является типичным неудобством, присущим редуцированному пространству.