4.3. ПОЛУПРОНИЦАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ВТОРОЙ ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ

Мы будем считать что каждый малый участок рассматриваемых поверхностей разделяет пространство. Поскольку для

наших целей важна ориентация, выделим два направления, в которых траектории могут пересекать поверхность, и назовем их и -направлениями. «Сторона» поверхности, достигаемая при движении в -направлении, будет называться -стороной; аналогично определяется -сторона. Возьмем точку х на ориентированной таким образом поверхности и рассмотрим полную вектограмму в этой точке. Будем называть поверхность полупроницаемой в х, если найдется по крайней мере одно такое значение что при ни один вектор -вектограммы не пересекает поверхность в -направлении; соответственно найдется вектор который препятствует пересечению поверхности в -направлении.

Поверхность, каждая точка которой обладает описанным свойством, назовем полупроницаемой поверхностью.

Мы уже видели, что каждую игру с платой в форме можно преобразовать в игру с терминальной платой (теорема 2.4.1). Рассмотрим такую игру; пусть решение ее найдено и принимает по крайней мере два различных значения.

Любая поверхность, разделяющая с? на части, где (с — некоторая константа), полупроницаема, причем V убывает, когда поверхность пересекается в -направлении. Действительно, если в некоторой точке х поверхности не нашлось бы обладающего нужным свойством, то не смог бы помешать переместить х на ту сторону, где V больше (аналогично относительно Таким образом, если х находится на этой поверхности, игроки должны применять управления соответственно которые здесь составляют оптимальные стратегии.

Предположим теперь, что в некоторой области пространства функция V принадлежит классу и не является константой в этой области. Тогда поверхность, на которой V постоянна, полупроницаема Вектор нормален к такой поверхности. Пересекает ли движущаяся точка эту поверхность в том или ином направлении или не пересекает вовсе, зависит от знака составляющей ее скорости по этому направлению. Таким образом, условие полупроницаемости для поверхности, где V постоянна, имеет вид

А это не что иное, как основное уравнение для игр с терминальной платой.

Если рассматривать как скорость течения некоторого вещества в то равенство (4.3.1) можно интерпретировать как условие того, что течение вещества сквозь полупроницаемую поверхность отсутствует, когда применяются доставляющие сумме соответственно Мы видим теперь, что, применяя только каждый игрок может помешать пересечению поверхности в чужом направлении. Отсюда название поверхности — полупроницаемая.

Предположим, что игру общего типа мы преобразовали в соответствии с теоремой 2.4.1 в игру с терминальной платой Если первоначально игра содержала фазовых координат, то сумма в (4.3.1) будет иметь слагаемых, где Мы знаем, что для преобразованной игры (см. 2.4.4) и новые оптимальные траектории сдвинуты относительно старых в направлении Таким образом, если в какой-либо начальной точке уменьшается, то V будет уменьшаться точно так же. Следовательно,

Предыдущие рассуждения показывают, что последнее слагаемое суммы в (4.3.1) есть таким образом, уравнение (4.3.1) идентично основному уравнению (4.2.1).

Изложенная концепция дает нам новый подход к дифференциальным играм, который кажется более привлекательным Рассмотрим вначале случай, где для простоты все характеризующие игру функции предполагаются гладкими и нет сингулярных поверхностей). Плата терминальная; мы знаем, что к такому случаю можно свести многие игры.

На функция задана. Мы предполагаем, что кривые -мерные многообразия) постоянных значений покрывают эту поверхность регулярно Допустим, что нам удалось заполнить семейством таких поверхностей, что через каждую точку в проходит только одна поверхность, причем

1) эти поверхности полупроницаемы и соответствующим образом ориентированы,

2) каждая пересекает по кривой постоянного значения

(Наша техника решения, составляющая основное содержание этой книги, логически эквивалентна построению такого семейства поверхностей.)

Тогда, конечно, вполне разумно утверждать, что на этих поверхностях V постоянна (и равна значению на В самом

деле, для любой точки в минимизирующий игрок если играет оптимально, не может заставить х перейти к поверхности с более низким значением Аналогично не может добиться более высокого значения Действительно, чтобы помешать противнику добиться платы лучшей, чем V, каждый из игроков вы нужден прибегать к значениям которые были введены при определении полупроницаемой поверхности. До тех пор, пока роки делают это, х остается на той же самой поверхности; если игрок отступает от этого правила, то его противник получает возможность проникнуть на более выгодную для него поверхность.

Если при использовании игроками управлений точка х достигает то значения платы на соответствующей полупроницаемой поверхности являются значениями цены игры. Выделенное курсивом предположение типично для игр качества. Мы еще вернемся к этому вопросу, иллюстрируя его двумя типичными примерами (4.4.4 и 4.4.5).