ГЛАВА 6. Рассеивающие поверхности

Разнообразие видов сингулярных поверхностей, которые могут встречаться при решении дифференциальных игр, служит ключом к важным, часто преобладающе важным для игр явлениям, которые выпадают из области собственно дифференциальных уравнений. В этой главе мы подробно рассмотрим конкретный тип сингулярных поверхностей. Другие типы будут изучены в следующих главах Рассеивающие поверхности, будучи в принципе простыми, тем не менее часто являются носителями смешанных стратегий. Поэтому в такой ситуации часто встречаются недоразумения, которые мы попытаемся разъяснить в следующих параграфах.

Первый параграф содержит классификационную схему сингулярных поверхностей и некоторые общие замечания об их роли. Здесь же введено определение рассеивающих поверхностей и приведены некоторые их примеры.

Параграф 6.7 посвящен геометрическим методам решения некоторых игр преследования. При этом уже встречаются упомянутые выше затруднения — особые точки, где задача о выборе стратегии сперва кажется неразрешимой.

Последний параграф содержит новые примеры, часть которых представляет собой еще не решенные задачи.

6.1. СИНГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Как уже отмечалось, существуют две многократно повторяемые стадии при отыскании решения дифференциальных игр Одна из них, обозначаемая термином в малом, состоит в интегрировании уравнений характеристик в регрессивной форме; в примерах предшествующих глав этот процесс занимал основное место. Вторая стадия, названная термином в большом, состоит в отыскании некоторых сингулярных поверхностей, которые, вообще говоря, разделяют области с различным поведением интегралов уравнений характеристик

Сингулярная поверхность есть -мерное многообразие в в точках которого регулярность поведения решения, интеграла основного уравнения, нарушается.

Чтобы классифицировать сингулярные поверхности, будем рассматривать, как ведут себя оптимальные траектории с двух сторон поверхности, поскольку мы предполагаем, что поверхность, расположенная внутри разделяет пространство на две области, по крайней мере в малой окрестности.

Рис. 6.1.1

Имеются четыре очевидные возможности поведения траектории на каждой поверхности; введем обозначения для каждого из этих возможных случаев:

траектории подходят к поверхности

они покидают ее (—);

они не подходят к поверхности и не покидают ее, т. е. параллельны ей в близких от нее точках

траектории отсутствуют (0).

Поскольку каждое условие может выполняться с любой стороны, всего существует 16 различных возможностей, которые будем обозначать, например, Далее, сама поверхность может содержать в себе множество траекторий; будем обозначать такой случай символом Например, сингулярная поверхность на рис относится к типу

Такая классификация включает 32 возможных случая Не все они обязательно встречаются в действительности, как, например, «слепой мешок» В примерах предыдущей главы уже появлялись поверхности переключения — поверхности,

где управление резко меняет свое значение. Они представляют собой поверхности типа но к тому же типу относятся и обычные (не сингулярные) поверхности, если в каждой своей точке они пересекаются некоторой оптимальной траекторией. (Но если обычная поверхность является объединением оптимальных траекторий, то она относится к типу

Эта классификация исчерпывает все геометрические возможности взаимного расположения поверхностей и оптимальных траекторий. Для большинства наших целей она вполне достаточна, однако полное исследование в некоторых случаях требует более тонкого подразделения в терминах локальных оптимальных стратегий. Например, из каждой точки сингулярной поверхности типа исходят три траектории. Оптимальное поведение может состоять в том, чтобы точка х оставалась на поверхности, если она находится на ней, и двигалась по какой-либо из боковых траекторий, если х находится вблизи от поверхности. Возможно, что все три траектории окажутся оптимальными или же оптимальной будет некоторая смешанная стратегия (правда, мы вскоре увидим, что последний случай невозможен) и т. д. Далее, случай (0) может означать, что решения не существует или что существует много решений, так что все траектории оптимальны.

Но явное перечисление само по себе не составляет еще теоретического построения. Нам не удалось создать общую теорию, основанную на приведенной классификации. Напротив, способы исследования различных типов сингулярных поверхностей очень сильно отличаются друг от друга. Значительная часть излагаемого далее материала будет отведена рассмотрению конкретных типов.

Дифференциальные игры имеют чрезвычайно разветвленную структуру. Независимо от того, в какой степени удастся развить теорию, возникновение новых и запутанных явлений возможно даже в самых безобидных случаях. Образец подобного рода явления читатель может найти в § 6.10.

Последовательное преодоление вновь возникающих затруднений выполняется обычно с помощью какого-либо нового типа сингулярных поверхностей, которые описывают границы областей нерегулярности или служат для определения начальных условий, порождающих новые семейства траекторий. Именно потому, что теория сингулярных поверхностей, основанная на приведенной здесь классификации, либо является нестрогой, либо вовсе отсутствует, мы и уделяем так много внимания изучению конкретных типов

В этой главе будет исследована поверхность типа изображенная для на рис. 6 1.1, а На рис. 6 1 1,6

представлен образец поверхности типа (+, u, +), который будет исследован в следующей главе; здесь поверхность вместе с входящими в нее траекториями может иметь ту же геометрическую форму, что и предыдущая, изменяется лишь направление траекторий. Несмотря на внешнее сходство рисунков изображенные на них сингулярные поверхности соответствуют совершенно различным явлениям.

Назовем поверхность типа рассеивающей поверхностью, а поверхность типа -универсальной. Как мы вскоре увидим, поверхности первого типа означают, что один или оба игрока должны решить, по которой из двух траекторий покинуть поверхность. Напротив, универсальная поверхность состоит из особо благоприятных траекторий для игрока, управляющего созданием такой поверхности, и входящие в нее траектории, вообще говоря, соответствуют его предварительным усилиям достичь этого желаемого для него «магистральногошоссе»