1.8. ВОЗДУШНЫЕ БОИ, СРАЖЕНИЯ, ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СПОРТИВНЫЕ ИГРЫ
Чтобы ознакомиться с дифференциальными играми, рассмотренными в книге, лучше всего было бы, по-видимому, бегло пролистать ее; но мы дадим и здесь несколько кратких замечаний.
Воздушный бой предполагает наличие летательного аппарата с оружием, имеющим определенную зону действия. Исход зависит от того, кто из игроков первым окажется в зоне достижимости противника. Вместе с уравнениями движения летательных аппаратов сформулированная задача представляет собой игру качества. Альтернативой является непрерывная плата — вероятность попадания в цель (или разница этих вероятностей для двух игроков), выраженная некоторым интегралом с интервалом интегрирования от начала игры до момента, когда один из игроков оказывается в зоне достижимости противника.
Другой класс военных игр — игры, где один из противников имеет определенный запас оружия для стрельбы по подвижным целям. Тогда стратегии первого могут включать в себя распределение ограниченного количества оружия; стратегиями же подвижной цели могут быть маневры. Наиболее подходящей платой здесь была бы вероятность попадания в цель (см. § А.5 дополнения).
Наши методы пригодны также для задач минимизации. Такие задачи формально можно рассматривать как игры, где один из игроков пассивен, т. е. не имеет управлений. Таким образом, эти методы позволяют решать определенные классы задач, цель которых — нахождение оптимальной программы действий; сюда относится такая хорошо известная область, как теория управления. Формально можно считать, что в теории управления применяются уравнения, аналогичные нашим уравнениям движения, где, скажем, управления отсутствуют. Такой пример приведен в дополнения. Задача распределения ресурсов как один из типов проблемы оптимизации рассмотрена в примере 5.6. В § А.З дополнения показано, как нашими методами можно получить оптимальную траекторию управляемого снаряда.
Иногда в таких задачах мы приходим к аналитическим результатам, эквивалентным результатам вариационного исчисления, хотя наш подход, казалось бы, совсем иной. В следующих главах будут сделаны соответствующие замечания по этому поводу. С другой стороны, мы будем иногда брать какую-нибудь хорошо известную классическую задачу вариационного исчисления, добавлять еще одного участника и рассматривать ее как игру двух игроков.
В принципе наша теория может оказаться пригодной для исследования некоторых спортивных игр. Таков, например, футбол. Ситуация, когда единственный игрок с мячом противостоит единственному защитнику, представляет собой не что иное, как
простую игру преследования, где платой является расстояние ворот до точки встречи игроков. Ситуация относится к области теории игр и в том случае, когда несколько взаимодействующих нападающих сталкиваются с препятствующими их цели игроками второй команды.