10.9. ЭКИВОКАЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ИГРЕ «ШОФЕР-УБИЙЦА»

Идеи предыдущих параграфов можно использовать при рассмотрении задачи «шофер-убийца». Мы можем построить экивокальную кривую, начинающуюся в конце барьера.

Предположим, что левый и правый барьеры не пересекаются и что х начинает двигаться от некоторой точки, близкой к концу правого барьера и лежащей под ним. Захват требует маневра разворота: должен заставить точку х опуститься и обойти вокруг барьера. Он начинает с крутого поворота влево что вызывает опускание точки х, но позднее он будет использовать стратегию, соответствующую правому притоку к универсальной поверхности. Это требует значения т. е. крутого поворота направо до тех пор, пока игрок не окажется прямо перед ним на универсальной поверхности) и, следовательно, игра окончится погоней по прямой линии. Здесь экивокальная поверхность будет геометрическим местом точек, на которых переключается с на

На экивокальной поверхности имеет выбор между траверсирующей и проникающей стратегиями. Каково значение, отвечающее первой из них? По лемме 10.5.1 требуется, чтобы выбрал вектор скорости, перпендикулярный к базовой линии -вектограммы. По лемме 10.2.1 эта линия перпендикулярна к радиусу-вектору Следовательно, скорость движения направлена к точке О, что означает следующее.

Если в исходном пространстве применяет траверсирующую стратегию, то он движется по курсу чистого преследования

Что касается то его оптимальная стратегия для х, лежащих на экивокальной поверхности, вообще говоря, отличается от и ±1. Это, видимо, единственный случай, когда он двигается по оптимальной траектории, не являющейся прямой или окружностью радиуса

Процесс отыскания экивокальной поверхности подобен тому, который приводился в § 10.7, и не стоит повторять приведенные там рассуждения. Как и прежде, известная функция от х и у, мы хотим найти Это можно сделать из условия экивокальной поверхности

где вычислены для (правых) притоков универсальной поверхности, а х, у означают их выражения из уравнений движения, где заменено найденным значением . Если теперь (10.9.1) разрешить относительно то мы получим искомое управление . Подстановка этих выражений в уравнения движения дает пару обыкновенных дифференциальных уравнений; их интегральная траектория, проходящая через точку В, конец барьера, является экивокальной поверхностью.

Дальнейший анализ детально проведен в дополнении к этой главе; окончательные дифференциальные уравнения имеют вид Они, пожалуй, чересчур неприступны, и мы не особенно докапывались до их специфических геометрических свойств.

На рис. 10.9.1, а приведено аккуратное построение экивокальной кривой; на рис. 10.9.1,б изображены соответствующие траектории в исходном, пространстве для этой фазы партии.

При изменении параметров существуют две различные возможности для формы экивокальной поверхности. Она может пересечь ось у (дуга на рис. 10.9.2, а) или закончиться на У (рис. 10.9.2, б). Мы изучим лишь первый случай, который, по-видимому, наиболее интересен.

Проследим за оптимально сыгранной партией, начинающейся в точке X (рис. 10.9.2, а). Оптимальная траектория пересекает, как это и показано, ось у, которая здесь вновь является универсальной поверхностью. После того, как точка х достигнет ее в А, она будет двигаться по этой оси до точки С. Разумеется,

другие начальные положения, такие, как приводят к траекториям вида которые встречаются непосредственно с экивокальной поверхностью (пунктирная линия на рисунке).

Нетрудно проинтерпретировать траекторию в исходном пространстве.

Рис. 10.9.1. (см. скан)

Игроки начинают движение из точек (рис. 10.9.3): сначала круто поворачивает влево (радиус в то время как перемещается прямо по касательной к окружности, по которой движется Дойдя до точки последний тоже переходит на прямую Такое движение соответствует положению X на универсальной кривой Интересно сравнить это с простой погоней, изображенной на рис. 10.4.1, а: теперь преследует

Оба игрока движутся по прямой пока расстояние между ними, увеличиваясь, не станет равным фиксированной

константе для игры, показанной на рис. 10.9.2, а. Такое положение соответствует точкам на рис. 10.9.3.

Рис. 10.9.2.

Рис. 10.9.3.

В точке игрок переключается на «экивокальную» стра тегию и движется по кривой (см. рис. 10.9.1, б), в то время как если он использует траверсирующую стратегию, следует вдоль курсом чистого преследования. Теперь уже х лежит на экивокальной поверхности и в любой момент может

переключиться на стратегию, соответствующую (в данном случае правому) притоку к универсальной поверхности. Это означает, что он будет держать курс вдоль соответствующей касательной к окружности правого разворота убегая от точки касания, и т. д.

Заметим, что, находясь в точке игрок оказывается перед выбором между правым и левым поворотами может следовать по экивокальной поверхности либо в правую, либо в левую сторону от оси Если использует траверсирующую стратегию, то он в обоих случаях направляет свою скорость на следовательно, функция не разрывна и не обязан использовать смешанную стратегию.

Рис. 10.9.4.

Но зато если выбирает проникающую стратегию, то он тоже оказывается перед выбором между правым и левым направлениями, и тогда необходима мгновенная смешанная стратегия. Поскольку в любом случае ничего не теряет от применения смешанной стратегии, он может включить ее в свою оптимальную стратегию. Напомним, что часть оси у, лежащая ниже точки С, является рассеивающей поверхностью. Поскольку смешивание требуется в каждой из ее точек, то такое же требование для точки С не слишком обременительно.

Если придерживается траверсирующей стратегии, то х движется по экивокальной поверхности до точки В — концевой точки барьера. Здесь с целью максимизации времени захвата должен выбрать проникающую стратегию. Однако он может использовать и оптимальную стратегию игры качества и добиться

нейтрального исхода. Фактически тут применимы все рассуждения § 10.8. Как и там, с «практической» точки зрения для видимо, выгодно позволить х пройти несколько ниже экивокальной поверхности и с помощью небольшой потери в плате избежать затруднений. Самым подходящим моментом для этого будут точки продолжает двигаться вдоль прямой пока расстояние не станет чуть больше (рис. 10.9.2, а).

Теперь поставим перед собой вопрос: является ли наше решение действительно полным? Могут ли существовать какие-нибудь другие фазы оптимальной партии?

На рис. 10.9.4 изображены оптимальные траектории рассматриваемой игры до момента, когда в партии начинается фаза экивокальной стратегии. Может ли существовать еще не рассмотренная область, подобная зоне, заштрихованной на рисунке?

Проблема 10.9.1. Ответить на этот вопрос. Если то каково решение в заштрихованной зоне? Существует ли там еще одна экивокальная поверхность, такая, чтобы желая привести на нее точку х, начинал с крутого поворота направо?