7.2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, НА КОТОРЫХ ПОДИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ОБРАЩАЕТСЯ В НУЛЬ

Предположим, что в игре с интегральной платой подинтегральная функция зависит только от и обращается в нуль на некоторой поверхности а во всех остальных точках она положительна. Тогда представляет собой геометрическое место точек, где минимизирующий игрок может перемещаться свободно в том смысле, что перемещение точки х по не наказывается штрафом в виде увеличения платы Таким образом, при некоторых обстоятельствах поверхность может быть -универсальной.

Исследование игр одного игрока в подобных случаях совсем просто

Ясно, что цена V будет постоянной на Если пересекается с то эта константа равна нулю. Если пересечения не происходит, то мы, применяя наш обычный метод, вычисляем начиная от и продвигаясь внутрь до тех пор, пока не достигнем Тогда наименьшее значение полученное таким способом на и будет этой константой. Из точки (или точек) где достигается наименьшее значение V, траектория (или траектории) покидает

Используя теперь как множество начальных условии, обычным интегрированием уравнений характеристик в регрессивной форме находим траектории, которые ведут в

При оптимальном развитии игры х сначала движется вдоль одной из этих траекторий затем по любому маршруту достигает а отсюда следует уже по найденной оптимальной траектории k.

Единственное, что здесь является новым, это точка зрения на подобные явления; сами они уже давно известны Проиллюстрируем, как можно рассматривать некоторые классические задачи вариационного исчисления с точки зрения универсальных поверхностей.

Пример 7.2.1. Поверхность минимальной площади вращения.

Даны две точки на плоскости над осью найти соединяющую их кривую, которая при вращении вокруг оси х образует поверхность минимальной площади.

Решение этой задачи хорошо известно. Когда точки расположены достаточно близко друг от друга и далеко от оси х, искомая кривая представляет собой цепную линию Если эти условия в достаточной степени нарушены, кривая превращается в

совокупность трех отрезков: двух перпендикуляров, опущенных из данных точек на ось х, и отрезка оси, соединяющего их основания. Это хорошо известное «разрывное решение Гольдшмидта». Сформулируем задачу в наших терминах. Рассмотрим игру одного игрока, где х обладает простым движением с единичной скоростью. Уравнения движения будут

Поскольку элементарная формула для вычисления площади поверхности, образованной при вращении произвольной кривой, имеет вид примем

Тогда плата будет пропорциональна интересующей нас площади. Мы используем а не у, для того чтобы можно было в качестве взять всю плоскость х, у

Основное уравнение (4.2.3) примет вид

а уравнения характеристик в регрессивной форме —

где

Кроме того,

Выбор условий на концах в нашем распоряжении. Случай закрепленных концов будет огнесен в упражнение, а сейчас рассмотрим кривые, проведенные из некоторой точки оси у в заданную точку, находящуюся справа от этой оси. Тогда У—это множество точек для которых а 46 состоит из точек, для которых

Обычное построение оптимальных траекторий, исходящих из 46, сразу дает нам классические непные линии. Мы будем находить их лишь для верхней полуплоскости и поэтому примем

Так как на то здесь Используя основное уравнение (4.2.3) (из постановки задачи ясно, что получаем еще начальные условия

Непосредственное интегрирование уравнений характеристик дает

а также уравнения оптимальных траекторий

где Исключение приводит к уравнению цепной линии Разумеется, в соответствии с постановкой задачи нужно выбрать таким образом, чтобы траектория (7.2.1) проходила через заданную начальную точку. Для V получаем

Теперь перейдем к основному, что нас интересует в этом примере, а именно к нахождению -универсальной поверхности. Кривая на которой описывается уравнениями

где неотрицательный параметр. Из основного уравнения (4.2.3) следует, что на

(Так как пересекается с то на

Интегрируя уравнения характеристик в регрессивной форме с этими начальными условиями, получаем, что для исходящих из траекторий

Здесь и ясно, что мы используем как так и Очевидно, что эти «притоки» к представляют собой вертикальные линии. Непосредственно вычисляем, что на них

Два семейства этих траекторий пересекаются на рассеивающих поверхностях. Уравнения последних получаем, приравнивая

два значения V (7.2.2) и (7.2.3). В верхней полуплоскости имеем

Если из этого уравнения и уравнений (7.2.1) исключить то получим уравнение верхней рассеивающей поверхности, которое имеет вид

Постоянная с удовлетворяет уравнению

Оптимальные траектории изображены на рис. 7.2.1.

Рис. 7.2.1.

Упражнение 7.2.1. Классическая задача с закрепленными концами Пусть Возьмем в качестве

так что

Поступая согласно нашим обычным правилам и рассматривая претел при получаем на

Найти решение, используя эти начальные условия.

Проблема 7.2.1. Игровой вариант. Пусть теперь точка перемещается простым движением под действием управления игрока со скоростью, меньшей единицы, так что задача превращается в игру преследования. Ясно, что при некоторых обстоятельствах может управлять типом траектории, по которой будет двигаться (цепная линия или ломаная, состоящая из трех отрезков). Как стратегия игрока влияет на оптимальное решение?