4.7. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Термин «начальные условия» здесь употребляется по отношению к уравнениям характеристик в регрессивной форме. Нас интересуют известные значения на (или какой-то другой поверхности, играющей такую же роль), которые могут служить начальными условиями при интегрировании по Но по отношению к первоначальным уравнениям, где дифференцирование происходит по возрастающему аргументу и которые описывают реальное развитие игры, эти условия, разумеется, будут конечными.

Во многих играх не все точки множества приемлемы для окончания. Например, если в игре «шофер-убийца» рассматривать как плоскую проекцию автомобиля, управляемого то эффективной будет лишь передняя часть этой проекции; в самом деле, довольно трудно, не используя задний ход, переехать убегающего пешехода задней частью автомобиля.

Чтобы изучить это явление в общем случае, рассмотрим точку, близкую к Любой из игроков может быть в состоянии приблизить или отдалить надвигающееся окончание вопреки любому противодействию своего оппонента. Пусть вектор нормали к В в точке направленный в Если

то может помешать немедленному окончанию игры, начатой из точек, достаточно близких к Если в (4.7.1) знак неравенства обратный, то может добиться немедленного окончания.

Весь вопрос в том, какую пользу принесут игрокам такого рода действия. Иногда ответ очевиден. В качестве примера можно взять случай, когда платой является время окончания игры; ясно, что в меру своих сил оттягивает окончание. Но может

случиться, скажем, и такое: видит, что, избегая окончания игры, он попадает, как говорится, из огня да в полымя. Мы оставляем этот вопрос ввиду возникающей в связи с ним путаницы, считая, что каждый подобный случай требует индивидуального рассмотрения. Однако здесь нам не придется сталкиваться с такого рода трудностями. Для определенности будем считать, что хочет окончить игру, а для выгодно избежать окончания. Тогда мы получаем, что если выполняется (4.7.1), то может отсрочить приближающийся конец.

Аналогично для тех точек множества где справедливо обратное по отношению к (4.7.1) неравенство, форсирует окончание. Множество таких точек будем называть допустимой областью. При оптимальной игре окончание будет осуществляться лишь в точках этой области.

Множество точек для которых выполняется само неравенство (4.7.1), будем называть недопустимой областью. Кривую -мерное многообразие) в которая разделяет эти два множества, т. е. такую, для которой выполняется условие

назовем границей допустимой области.

Для многих задач допустимой областью может быть все множество например если в уравнения движения входит лежит в плоскости Но встречается много задач, когда для нахождения решения первым делом надо выделить допустимую область.

Начальные условия, необходимые для интегрирования уравнений (4.6.1), (4.6.2), являются значениями в допустимой области. Если можно задать в виде

то это дает первые начальных условий. Для получения V, в допустимой области вспомним, что на Дифференцирование по дает

т. е. мы получили уравнений для определения неизвестных V,. К этим уравнениям следует присоединить еще основное уравнение (4.2.3), в котором вместо надо подставить их значения (4.7.3).

Вообще говоря, у этой системы уравнений могут быть два решения. Причина состоит в том, что предложенное рассмотрение

не дает способа различать две стороны поверхности Например, в игре преследования в качестве можно взять границу области захвата. Здесь нас интересуют лишь те случаи, когда х встречает на пути извне области захвата внутрь ее. Однако игры, оканчивающиеся пересечением при движении х изнутри, также охватывают широкий круг явлений.

В конкретных задачах, как правило, всегда можно указать некоторые соображения, позволяющие сказать, какое из возможных решений следует оставить. В рабочем порядке предупреждаем начинающих быть осторожнее, ибо это один из пунктов, где можно ошибиться.

Упражнение 4 7.1. Найти допустимую область для игры «шофер-убийца», используя редуцированное пространство. За принять окружность

Найти начальные условия в допустимой области для траекторий, как выходящих из так и направленных внутрь

Наше решение задач в малом фактически уже найдено. После интегрирования уравнений характеристик в регрессивной форме с соответствующими начальными условиями мы получаем функций от аргументов

Затем обращаем первые функций и выражаем (4.7.5) как функции от (Иногда эта формальная операция бывает очень сложной, но в большинстве конкретных случаев можно с помощью некоторой изобретательности обойти подобные трудности.) Далее находим Для этого достаточно подставить вновь найденные функции в остальные интегралов, получить проинтегрировав, найти V с точностью до постоянного слагаемого, которое определяется с помощью известных значений V на А можно и непосредственно вычислить Для этого подставляем полученные из основного уравнения (4.2.3), и находим оптимальные стратегии.

Решение в большом, разумеется, приводит к изучению сингулярных поверхностей, отдельные случаи которых мы рассмотрим в следующих главах.