7.9. РАБОЧИЙ КРИТЕРИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ n >= 4

Если размерность пространства У, или, что то же, число фазовых координат больше трех, то основное условие

уже не определяет непосредственно поверхность, подозрительную на универсальность. (Здесь вектор нормали к поверхности постоянного значения V в точках подозрительной поверхности.) В этом параграфе будет изложен способ нахождения таких поверхностей с помощью составления дифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять такая поверхность. В основном мы будем рассматривать случай и лишь в этом случае изучим некоторые детали; этого окажется достаточно для почти всех последующих примеров.

Формальным результатом (по крайней мере для случая будет уравнение вида

где функции от Если имеют общий множитель, то, приравняв его нулю, мы получим уравнение поверхности, подозрительной на универсальность. То же самое имеет место, если тождественно обращается в нуль при но если ни одна из этих возможностей не выполняется, то из условия (7.9.1) можно выразить как функцию от Подстановка ее в уравнения движения

превращает последние в полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта ситуация отличается от прежней, и

примеры показывают, что она встречается довольно часто. Интегрируя уравнения (7.4.1), мы можем провести подозрительную поверхность через более или менее произвольную кривую; тем самым наши возможности существенно возросли. Подходящую начальную кривую следует выбирать, исходя из соображении, относящихся к данной конкретной задаче.

Лемма 7.9.1. Пусть на -универсальной поверхности применяется значение Тогда (вдоль оптимальных траекторий, лежащих на универсальной поверхности)

Эти уравнения формально совпадают с обычными уравнениями характеристик, но прежнее доказательство для них не действительно: мы не знаем, все ли V, дифференцируемы по направлениям, пересекающим универсальную поверхность.

Первая группа уравнений следует из определения Для доказательства второй группы уравнений выберем координаты так, чтобы универсальная поверхность соответствовала плоскости Тогда справедливость второй группы уравнений для устанавливается обычным способом: дифференцируем основное уравнение по и рассматриваем лишь «внутренние» по отношению к универсальной поверхности производные. Определяем как в доказательстве теоремы 7.4.2. Пусть, например, Имеем

Мы уже знаем, как дифференцировать по все величины, входящие в это уравнение, кроме Следовательно, можно вычислить из полученного соотношения. Мы оставляем читателю формальные выкладки, которые приведут его к уравнению, доказывающему лемму.

Для любых двух векторных полей определим новое векторное поле приняв в качестве компоненты величину

где

Итак, если как обычно, являются коэффициентами в уравнениях движения, то соотношение (7.4.7) можно переписать в виде

Пусть - любое гладкое векторное поле. Считая, что V — это цена игры, заданная в окрестности универсальной поверхности, положим

Лемма 7.9.2. Вдоль оптимальных траекторий в универсальной поверхности

Доказательство. Достаточно вычислить V, используя уравнения леммы 7.9.1 (точно так же, как в § 7.4 при вычислении А использовались уравнения характеристик).

Пусть компоненты произвольной гладкой нормали к поверхности постоянного значения V на нашей универсальной поверхности. Положим

Лемма 7.9.3. Если на универсальной поверхности то там выполняется также и соотношение

Доказательство. Мы знаем, что для некоторой скалярной функции Следовательно, значит, из условия следует, что вдоль оптимальной траектории, лежащей на универсальной поверхности, Тогда данная лемма вытекает из леммы 7.9.2.

Поскольку на универсальной поверхности из леммы 7.9.3 следует, что

Теперь из соотношений

можно определить точностью до скалярного множителя). В самом деле, можно принять за миноры третьего порядка (с соответствующими знаками) матрицы порядка 4X3. Тогда (7.9.2) превращается в условие вида (7.9.1).

Для больших значений несколько раз применим лемму 7.9.2, дифференцируя А по до тех пор, пока полученные уравнения вместе с уравнениями не составят системы линейных однородных уравнений с неизвестными Приравняв к нулю определитель этой системы, мы либо получим конкретное уравнение подозрительной поверхности, либо найдем

Но для случая мы будем применять это условие в другой форме. Мы получим для каждой пары индексов условие, которое назовем Поскольку пары и приведут к эквивалентным условиям, а пара к тождеству, будет только 6 различных условий одному для каждой пары чисел где Эти условия, по-видимому, легче применять к практическим задачам, чем условие (7.9.2); мы получаем некоторую возможность выбирать из нескольких вариантов наиболее простой путь для вычислений.

Величины были уже найдены как миноры третьего порядка матрицы Положим

и

Теорема 7.9.1. Если то в игре с одним управлением терминальной платой и линейными вектограммами поверхность, подозрительная на универсальность, должна удовлетворять всем условиям где означает

Доказательство. Мы должны показать, что все условия эквивалентны условию (7.9.2). Для простоты рассмотрим лишь Ту же идею можно применить для любой пары индексов.

Поскольку первые два слагаемых в первой сумме левой части (7.9.3) имеют вид

а вся первая сумма в левой части (7.9.3), или в формуле (7.9.1), равна

или, что то же,

Здесь порядок сомножителей в слагаемых должен соответствовать движению сверху вниз; иными словами, действуют лишь на последнюю строку.

Исследование второй суммы в формуле (7.9.3), или в формуле (7.9.1), дает такой же результат, но только в верхней строке а заменяется на

Такая детерминантная форма условия (7.9.3) может оказаться предпочтительной для аналитика. При образовании определителей для общего условия правило состоит в том, что верхние элементы столбцов надо заменить нулями, а в других двух столбцах естественный порядок оставшихся элементов или изменить, и один из них взять с противоположным знаком. Положим

(Легко видеть, что при транспозиции индексов эта величина меняет знак, а если какие-нибудь два индекса равны, то обращается в нуль.)

Заменив в нижней строке определителя (7.9.4) их выражениями в виде миноров третьего порядка, мы получим в качестве нижней строки

Тогда определитель (7.9.4) будет равен

В самом деле, проверим коэффициент при в разложении определителя; у него будет пара индексов где и оба они отличны от 4. Знаки будут такими же, как в формуле (7.9.7) (в данном случае отрицательными). Действительно, легко видеть, что, несмотря на вид определителя (7.9.4), который, казалось бы,

должен привести к перемене знака, этого не происходит из-за транспозиций индексов у (точно так же все члены, умножающиеся на берутся со знаком плюс). Поскольку пары индексов равных друг другу или четырем, ведут к образованию нулевых членов, их можно безболезненно включить в сумму. Итак, коэффициенты при в (7.9.7) имеют вид

Рассмотрим, как действует на определитель (7.9.5). Имеем

где оператор действует в лишь на столбец с номером с. Но вносят нулевой вклад в выражение (7.9.8), так как умножать их на (для образования и складывать можно лишь с помощью первого столбца, а тогда после сложения этот столбец будет состоять из элементов каждый из которых равен нулю. Таким образом, (7.9.8) принимает вид

Разлагая этот определитель по последнему столбцу и суммируя по получаем

Последняя скобка равна и так как после суммирования она дает нуль, ее можно отбросить.

Если (7.9.10) подставить в (7.9.7), то получим

Если так же вычислить в формуле (7.9.1), то единственное отличие будет состоять в том, что величины а вне суммы в выражении для будут заменены на и в результате будет

Итак, левая часть формулы (7.9.1) равна левой части формулы (7.9.2), умноженной на Для произвольных

и, получим, что левая часть уравнения (7.9.3) (условия ) имеет вид

Рассмотрим поверхность, подозрительную на универсальность. Для нее должно быть верно соотношение (7.9.2) и, следовательно, все условия выполнены, что и требовалось доказать.

Можно показать, что любое условие которое не имеет вида влечет за собой все остальные. Итак, практически любое невырожденное условие достаточно для определения подозрительных поверхностей.

Заметим, что если все обращаются на поверхности в нуль, то там линейно зависимы; этот случай мы исключили из рассмотрения. Поверхности, на которых какой-нибудь из этих определителей обращается в нуль, нетрудно найти непосредственно из уравнений движения. В большинстве практических случаев ни один из них не обращается в нуль. Для таких случаев справедливость любого условия на поверхности влечет за собой (7.9.2), как следует из (7.9.11); отсюда ясно, что тогда можно применять любое условие

В качестве первого примера рассмотрим Упражнение 7.9.1. Пусть уравнения движения имеют вид

Проделать соответствующие выкладки и установить, что условия получаются приравниванием нулю выражения

умноженного соответственно на коэффициенты

Устранить неопределенность в формулах для положив

Задача 7.9.1. Заметьте, что в предыдущем упражнении появляется лишь в четвертом из уравнений движения. Это означает, что первые три уравнения образуют независимую систему. Исследовать ее способом, изложенным в § 7.5, и получить поверхности, подозрительные на универсальность. Заметьте, что они удовлетворяют дифференциальным уравнениям упражнения 7.9.1, т. е. уравнениям движения, в которых заменено на но не входят в формальное общее решение. Не являются ли они особыми решениями?

При выводе теоремы 7.9.1 длина предполагалась произвольной. Если все умножить на некоторую функцию то промежуточные выкладки изменяются, например в формуле для появляются добавочные слагаемые. В следующей задаче мы предоставляем читателю показать, что окончательный результат тем не менее остается неизменным.

Задача 7.9.2. Показать, что если заменить на где дифференцируемая функция от то новые получаются просто умножением прежних на

Проблема 7.9.1. Мы доказали эквивалентность шести условий к которым приводит наш метод. Можно заподозрить, что существует более рациональный подход, позволяющий избежать подобной переопределенности. Так ли это?

Пример 7.9.1. Классическая брахистохрона с ограниченной кривизной. Вернемся еще раз к задаче о движущемся объекте с ограниченной кривизной траектории, но пусть теперь скорость его будет заданной функцией от х и у. Тогда уменьшение числа координат в примерах 7.5.2 и 7.7.1 становится невозможным.

Пусть и -координаты точки на плоскости. Если мы положим, что модуль скорости равен (см. пример 5.2), то получим, не учитывая ограничения на кривизну траектории, классическую задачу вариационного исчисления о брахистохроне. Обозначив через наклон вектора скорости к оси запишем уравнения движения

Вычисляя по формулам (7.4.7), строим таблицу

(см. скан)

В качестве используем вектор

ортогональный к После вычисления и затем U находим условие

[Сравните с условием для которого получаем эквивалентное уравнение

Таким образом, и мы приходим к дифференциальным уравнениям

Легко проверить, что общее решение первых трех уравнений имеет вид

где — постоянные. Отметим, что первые два уравнения представляют собой уравнения классических циклоид. Здесь мы получили пример одного общего принципа, который мы рассмотрим в § 7.12.

Упражнение 7.9.2. Упрощение последнего примера. Точка х движется в плоскости с постоянной скоростью но кривизна ее траектории ограничена значением Платой является время достижения заданной кривой Отсутствие произвольности выбора позволяет уменьшить число координат до двух, так что полученную задачу можно решать изложенным выше способом.

1. Показать, что поверхности, подозрительные на универсальность, представляют собой прямые линии.

2. Показать, принимая во внимание начальные условия и используя соображения § 7.10 о том, что эти прямые перпендикулярны (Условие перпендикулярности можно получить так же, как было получено соответствующее условие для циклоид.)

Пример 7.9.2. Сражение при Банкер-Хилл. Эту задачу мы рассмотрим подробно в главе 11. Здесь мы ограничимся лишь нахождением универсальной поверхности. Для этого нам нужно знать только уравнения движения, которые имеют вид

где заданные функции от постоянные.

Выпишем значения а; и в таблицу и дополним ее вычисленными значениями у:

(см. скан)

Простейшие значения таковы:

Выражение, скажем, для условия довольно громоздко:

Однако если положить

то получим очень простую форму:

Регрессивные дифференциальные уравнения превращаются в уравнения

Проинтегрируем их с начальными условиями

Тогда мы получим, что следовательно, знак эквивалентен знаку Далее,

Интегрирование этого уравнения дает

Здесь К — постоянная интегрирования, и легко установить, что

Обозначим Тогда нетрудно получить окончательное решение:

Пример 7.9.3. Война на изнурение противника; второй вариант.

Эта игра также будет рассмотрена позже; здесь же нас интересует лишь формальный анализ универсальной поверхности.

Оказывается, что соответствующие уравнения движения приводят к таблице

(см. скан)

Здесь постоянные. Как всегда, первые два столбца таблицы получены из уравнений движения, а третий — вычислением

Из первого и третьего столбцов сразу следует, что

Тогда либо определитель здесь равен нулю, либо

Последнее допущение требует также, скажем, Если постоянны, то все равны нулю, так что общий критерий тривиально удовлетворяется на всех поверхностях. Сами по себе эти значения нормалей, принадлежащих только поверхностям постоянных значений V, ничего не дают.

Что касается первого допущения, то из него следует, что

По смыслу задачи значение невозможно, следовательно, мы получаем поверхность

Позже мы узнаем, что это и есть искомое уравнение универсальной поверхности.