9.5. ДВЕ ПОЧТИ ОДИНАКОВО СФОРМУЛИРОВАННЫЕ И СОВСЕМ НЕПОХОЖИЕ ИГРЫ

Две точки обладают простым движением в полуплоскости, ограниченной прямой Скорости их произвольны, и существенно лишь их отношение; мы примем скорость за единицу, а скорость будем считать равной Как обычно, считаем, что произведен захват, если

1. В первой игре, называемой игрой с линией жизни, целью является достижение до захвата. Игрок естественно, преследует противоположную цель.

2. Во второй игре, напротив, достижение» является гибельным для То есть захват считается осуществленным, либо если либо если Е пересекает»?. Эта игра представляет собой обобщение как игры преследования в полуплоскости

(пример 6.4.1), так и игры перехвата прямолинейно движущегося объекта (пример 8.6.1). Новым в этой игре является то, то не обязан больше двигаться только по а может свободно передвигаться в полуплоскости, ограниченной этой кривой. Эта игра будет называться игрой с линией смерти.

Несмотря на то что формулировки этих двух игр параллельны, решения их совершенно различны. Первая из них имеет искусственный барьер, вторая — барьер-огибающую.

Рис. 9.5.1.

Ясно, что в игре 1 случай тривиален. В этом случае имеет возможность оставить второго игрока как угодно далеко позади и уйти неповрежденным за прямую Все пространство является зоной избежания захвата. Поэтому мы все время будем считать, что

С другой стороны, игра 2 тривиальна при так как в этом случае можно поймать всегда, даже если не обращать внимания Наличие только ухудшает положение Все пространство является зоной захвата, поэтому мы будем предполагать, что

Выберем для двух этих задач координаты, показанные на рисунке 9.5.1, а. Уравнения движения имеют вид

Основным уравнением (4.2.1) будет тогда

так что если

то

Таким образом, основное уравнение имеет вид

а уравнения характеристик в регрессивной форме таковы:

Редуцированное пространство показано на рис. Оно состоит из всех точек, для которых за исключением внутренности цилиндра Граница цилиндра соответствует точкам, для которых Ось его наклонена под углом 45° к плоскости а вертикальные и горизонтальные сечения (не перпендикулярные к оси) являются окружностями радиуса Плоскость соответствует, разумеется, положению на прямой и будет обозначаться через Поверхности и пересекаются по полуокружности

Пример 9.5.1. Игра с линией жизни. Рассмотрим точку х в пространстве Если траектория этой точки пересекает то такой исход является победой для а если она пересекает то это победа для Итак, если существуют и зона захвата, и зона избежания захвата, то они должны быть разделены полупроницаемой поверхностью, отделяющей от Следовательно, она должна проходить через Здесь мы имеем типичный пример «искусственного барьера».

И обратно, если мы можем провести через поверхность, разделяющую на две части таким образом, что и лежат в разных частях, то эти части будут соответственно зонами захвата и избежания его.

Параметрические уравнения для следующие:

Нормаль удовлетворяет условию

следовательно, можно считать, что

Из основного уравнения типа (4.2.3) получим Поскольку имеем

и

Перед корнем нужно выбрать знак для того чтобы вектор нормали был направлен внутрь пространства

Поскольку в правой части уравнения движения отсутствуют фазовые координаты, все равны 0, поэтому мы можем без труда написать уравнение барьера. При этом

где начальное значение, а с — константа. Итак, имеем

Для того чтобы получить представление о форме этой поверхности, продолжим траектории за 45. Положим тогда

Введем угол по формуле

Угол и меняется от до где Таким образом, кривая (9.5.2) есть дуга окружности радиуса в плоскости

Поверхность (9.5.1) образована прямыми линиями, соединяющими соответствующие точки этой кривой и кривой

Рис. 9.5.2.

Для результат показан на рис. 9.5.2; поверхность имеет вид половины рога, проходящего череза", и действительно отделяет от

Для того чтобы понять, что соответствует этому в естественном пространстве, представим себе кривую, являющуюся горизонтальным сечением нашей поверхности на высоте В исходном пространстве такое положение отвечает точкам, где

Р удален от на расстояние Сама плоскость сечения может рассматриваться как эскиз в естественном пространстве. Кругом захвата будет пересечение этой плоскости с а сечение поверхности будет некоторой кривой, изображенной на рис. 9.5.3, а. Если начинает игру из любой точки под этой кривой, то он безнаказанно достигает ; для любой точки над этой кривой успевает его поймать.

Для поверхность барьера на рис. 9.5.2 совпадает с верхней половиной цилиндра кривая на рис. 9.5.3,6 совпадает с нижней половиной круга захвата. Что это значит?

Рис. 9.5.3.

Дело в том, что здесь появляется статический барьер. Существование такого барьера означает, что Из уравнений движения следует, что это возможно только при Тогда мы можем так выбрать нормаль, чтобы и получить

При этом основное уравнение примет вид

Этому уравнению, очевидно, удовлетворяют приведенные выше значения Тогда в редуцированном пространстве статическими полупроницаемыми поверхностями служат плоскости, перпендикулярные к оси Используем для решения задачи две такие полуплоскости, которые касаются поверхности и лежат под ней. Вместе с рассмотренным ранее полуцилиндром они образуют единую гладкую поверхность.

Итак, в исходном пространстве с фиксированным мы построили барьер, изображенный на рис. 9.5.3,6 пунктирными линиями. Знак плюс или минус в последней формуле зависит от того, на какой из этих прямых мы находимся. Легко видеть, что стрелки на рисунке соответствуют оптимальным направлениям движения обоих игроков.

Заметим, что полученный барьер согласуется с прежним. анализом простой игры блокирования.

Задача 9.5.1. Показать, что при тот же барьер может быть найден геометрическим методом. Здесь следует рассмотреть геометрическое место точек С, удовлетворяющих условию

и показать, что барьер соответствует множеству таких точек для которых это геометрическое место лежит над и касается ее. Объяснить, почему это так.

Проблема 9.5.1. Решить игру с линией жизни, когда — окружность. Пространством игры может служить внутренность или внешность круга, ограниченного ею. Можно рассмотреть дальнейшее обобщение, приняв за произвольную кривую.

Пример 9.5.2. Игра с линией смерти. Теперь и на рис. 9.5.1,6 будем считать гибельными для Допустимое множество должно лежать на их пересечении.

Рассмотрим полуокружность Она соответствует такому положению, когда лежит на и при этом как это показано на рис. 9.5.4, а. Ясно, что может убежать, только если компонента его скорости вдоль окажется больше 1, т. е. если Если такой угол, что то это условие примет вид Найденное и то, которое показано на рис. совпадают. Допустимой областью может быть только та часть полуокружности (назовем ее где — Следовательно, в качестве границы допустимой области мы можем взять лишь две точки на а именно В этой ситуации напрашивается предположение о существовании барьера-огибающей. Используем для его построения схему теоремы 8.5.1.

Определим как показано на рис. Для того чтобы расстояние оставалось равным игрок должен выбирать так, чтобы проекции обоих векторов скорости на были равны. Интуитивно ясно, что из двух возможностей выберет такую, при которой увеличивается. Например, на

нашем рисунке он будет обходить против часовой стрелки круг захвата. Тогда, очевидно,

Обозначим для краткости квадратный корень в правой части через За координаты на примем

Рис. 9.5.4.

Так как то из рисунка видно, что

Кроме того,

Присоединим сюда еще

Мы получили уравнения движения игры Для построения полупроницаемой поверхности поступим так же, как в случае игры «изотропные ракеты»; имеем

что преобразуется к виду

После дальнейших упрощений (9.5.5) сводится к квадратному уравнению относительно Для каждого корня этого уравнения знак при вычислении не определен. Однако из четырех возможностей только две определяют корни уравнения (9.5.5). Они соответствуют двум крайним векторам вектограммы. По смыслу нашей задачи должно быть отрицательным, поскольку при нейтральной игре увеличивается до уменьшается до 0. Остается лишь одна возможность. Легко проверить, что при этом

где

и после подстановки этих значений в (9.5.4) имеем

Разделим первое из этих уравнений на второе:

Это уравнение надо проинтегрировать с начальным условием Получаем

где

Мы можем считать параметром на искомой огибающей кривой . Тогда остальные два уравнения легко получить, так как

Эти уравнения являются уравнениями кривой , вернее той ее ветви, для которой Ясно, что в формуле (9.5.9) изменяется на отрезке

Получить полупроницаемую поверхность нетрудно. Она состоит из кривой и касательных к ней, направленных во внешнюю сторону. Если обозначить правую часть первого из уравнений (9.5.9) через то первое уравнение этой поверхности будет иметь вид

Знак минус возникает из-за того, что убывает (от до ), когда мы регрессивно движемся вдоль 3. Разумеется, при этом не соответствует времени захвата; так могло бы быть, если бы соответствовало времени вдоль , что, очевидно, не выполняется. Но преобразование меняет лишь параметризацию, а не саму поверхность.

Итак, уравнения полупроницаемой поверхности имеют вид

Наши рассуждения относились к области и поэтому мы доходим только до плоскости и добавляем симметричный образ построенной части поверхности.

На рис. 9.5.5 показан окончательный вид барьера-огибающей. Дуга С В является огибающей , причем значению отвечает точка С, а значению точка В. Поскольку касаются друг друга в точке С, как это показано на чертеже, их общая касательная лежит в плоскости Остальные лучи, касающиеся , продолжаются до точек пересечения с плоскостью которые расположены на гребне Эта кривая, как нетрудно показать, поднимается возрастает) от точки А к точке В.

Пусть буквы обозначают также значения в соответствующих точках. Простой подсчет показывает, что

Чтобы понять, что происходит в исходном пространстве, рассмотрим, как прежде, сечения с постоянным

Рис. 9.5.5.

Это соответствует тому, что положение фиксировано, а меняется. При или захват неосуществим ни для одного положения В остальных случаях зоны захвата показаны на рис. 9.5.6 штриховкой.

Упражнение 9.5.1. Написать уравнения сечений барьера на рис. 9.5.6.

Упражнение 9.5.2. Исследовать предельный переход при Показать, что при мы имеем статичный барьер. Сечения его на рис. 9.5.6 будут в некотором смысле обратными к тем, которые получались в игре с линией жизни: верхняя половина круга захвата плюс две вертикальные касательные, проведенные вниз от точки касания.

Рис. 9.5.6.

Проблема 9.5.1. Исследовать траектории в исходном пространстве, соответствующие положению х на 3. Существует ли какое-нибудь простое объяснение для искривления траектории точки

Проблема 9.5.2. Рассмотреть более общую задачу, когда является дугой окружности.