10.7. ПРИМЕР С ЭКИВОКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ; РЕШЕНИЕ

Вернемся теперь к примеру 10.6.1. Покажем, что предположения § 10.5 выполнены. Предварительно заметим, что некоторые части траекторий первой стадии входят в истинное решение; с другой стороны, в некоторой области ниже и левее В оптимальное значение должно равняться —1 (крайнее

верхнее значение скорости). Наша задача состоит в отыскании линии переключения с одной фазы на другую.

А1. Очевидно. В самом деле, может по своему усмотрению выбрать кривую, которая разделяет области, где он использует значения Если эта кривая будет играть роль экивокальной, то на ней он должен, разумеется, использовать некоторое промежуточное значение Но с точки зрения К-стратегии это совсем не обязательно.

Рис. 10.7.1.

Как мы увидим ниже при проверке предположения А2, К-стратегия для приводит к зигзагообразному движению вдоль экивокальной поверхности, подобно движению, которое встречалось при доказательстве теоремы 10.6.1.

А2. Кривой, которую мы в этом параграфе будем называть экивокальной, может быть любая гладкая кривая, которая

1) начинается в точке

2) имеет более крутой наклон, чем траектории первичного семейства в точках пересечения с ней над точкой

3) точка х может двигаться по ней, если использует оптимальную траверсирующую стратегию, некоторое промежуточное значение которое мы назовем Покажем, что определяет выбор между траверсирующей и проникающей стратегиями.

На рис. 10.7.1 показаны различные возможности для вектограммы в точке на экивокальной кривой. В силу второго

условия лежит выше В и, следовательно, Здесь базовая линия -вектограммы. Действуя согласно оптимальной первичной (и, следовательно, проникающей) стратегии, выбирает направленный вверх вектор скорости первичный оптимальный вектор, соответствующий значению или вектор Суммарная скорость направлена по касательной к первичной траектории. В силу второго условия касательная к экивокальной поверхности имеет более крутой наклон; она изображена на рисунке пунктирной линией. По лемме 10.5.1 оптимальная траверсирующая стратегия для соответствует вектору или перпендикулярному к Следовательно, означает, что выбирает вектор чтобы суммарная скорость касалась экивокальной поверхности.

Предположим теперь, что переключится на (проникающая стратегия). Тогда может выбрать результирующую скорость, изменяющуюся от вектора до Все они переводят х в первичную область, лежащую над экивокальной поверхностью. Начиная с этого момента, каждый игрок, не желающий получить меньше, чем цена игры, должен играть оптимально с результирующим вектором Тем самым партия завершается в первичной области.

Пусть теперь твердо придерживается траверсирующей стратегии Покажем, что не может отклониться от не потерпев при этом убытка в плате.

Предположим, что для некоторого короткого интервала времени он использовал тогда точка х поднялась бы на некоторое положительное расстояние над экивокальной поверхностью в область первичных оптимальных стратегий для обоих игроков. Имея в виду лишь вертикальную компоненту скорости, заметим, что путь, при котором х поднимается и потом вновь опускается, занимает больше времени, чем прямой первичный спуск от точки следовательно, больше времени, чем

С другой стороны, если будет придерживаться значения на протяжении некоторого интервала времени, то х спустится ниже экивокальной поверхности. (По лемме использует при этом векторы, близкие к Л.) В некоторый более поздний момент времени точка х должна вновь пересечь экивокальную поверхность, скажем, в точке поскольку, в силу пункта 1, экивокальная кривая и образуют единую кривую, которая отделит точку х после ее спуска от а сможет предотвратить пересечение точкой х кривой Пусть выбирает стратегию, которая предотвращает такое пересечение и во всех остальных точках ниже экивокальной поверхности остается равной Путь из лежащий ниже экивокальной

поверхности, оказывается длиннее, чем путь, идущий по ней. В этом можно убедиться, рассматривая только горизонтальную компоненту скорости и помня, что и возрастающая функция. Тем самым имеется способ заставить получить меньше, чем цена игры.

Для выполнения гипотез возьмем в качестве возможных семейство кривых, удовлетворяющих условиям 1—3 гипотезы Выберем в соответствии с рис. 10.7.2, а.

Рис. 10.7.2.

A3. Мы должны показать, что если выбирает траверсирующую стратегию, то плата убывает с увеличением Достаточно установить, что если (см. рис. и дуги кривых то время движения точки х вдоль меньше, чем вдоль дуги Разумеется, есть часть «вторичной» оптимальной траектории.

Сконцентрируем внимание на горизонтальной компоненте скорости: на и она равна и а для не меньше и Так как и возрастающая функция, то более высокая траектория приводит к большей горизонтальной скорости и к меньшей затрате времени. Итак, плата убывает с ростом

Покажем теперь, что если проникает сквозь в первичную область, то плата возрастает с ростом В этой области в силу (10.6.1) V является возрастающей функцией от у. Следовательно, поскольку кривые имеют отрицательный наклон, то чем больше тем больше времени потребуется точке х, чтобы достичь и тем большее будет в этой точке значение

Итак, существование экивокальной поверхности установлено. Обратимся теперь к ее построению. Условие экивокальной поверхности в общем случае устанавливает, что при движении

вдоль нее

где -цена игры в первичной области. В нашем примере при регрессивном движении а V задается формулой (10.6.1). Прежде всего запишем уравнения движения

По лемме а (10.7.1) превращается в нашем случае в условие

Итак, для экивокальной поверхности

что после подстановки в уравнения движения приводит к дифференциальным уравнениям

Наша экивокальная кривая является интегралом этой системы дифференциальных уравнений, начинающимся в точке В: в качестве начальных условий возьмем при (из (10.6.1)). Тем самым на экивокальной поверхности равно

Заметим, что в точке В следовательно, экивокальная кривая имеет здесь вертикальную касательную. На примере 8.4.3 мы видели, что то же самое было верно для барьера. Итак, обе кривые гладко смыкаются в точке В.

Проблема 10.7.1. Верно ли это в общем случае? Если экивокальная поверхность встречается с окончанием барьера, то должны ли эти поверхности гладко примыкать друг к другу?

Упражнение 10.7.1. Используя данные упражнения 10.6.1, показать, что в этом случае роль экивокальной поверхности играет полупарабола.

[В самом деле, ее уравнения при имеют вид

Чтобы подкрепить материал леммы 10.5.2, мы закончим этот параграф частичным исследованием вторичных траекторий, отходящих от экивокальной поверхности.

Основное уравнение (4.2.3) в нашем случае имеет вид

где

Запишем уравнения характеристик в регрессивной форме:

В качестве начальных условий используем уравнение экивокальной поверхности, где для удобства обозначений заменим на Тогда на экивокальной поверхности Наше обычное уравнение

при использовании (10.7.4) принимает вид

Это уравнение вместе с основным уравнением надо решить относительно Нетрудно заметить, что формальное решение

подходит. Следует отметить, что при т. е. на всей экивокальной поверхности за исключением точки В.

Чтобы найти надо исследовать на экивокальной поверхности. Из уравнений характеристик имеем

поскольку Следовательно, т. е. как мы и ожидали, использует свой самый верхний вектор.

Из (10.7.7) мы видим, что в начальный момент Следовательно, скорость движения горизонтальна и направлена влево. Как и утверждается в лемме 10.5.2, она является непрерывным продолжением стратегии на экивокальной поверхности.

Все остальное в нашей задаче включает в себя мало нового, и мы предоставляем ее завершение читателю.

Рис. 10.7.3.

Упражнение 10.7.2. Исходя из данных упражнения 10.6.1, показать, что оптимальные притоки экивокальной поверхности задаются уравнениями

На рис. 10.7.3 показано, как примерно выглядят оптимальные траектории.