1.4. ИГРЫ С ДВИЖУЩИМСЯ ОБЪЕКТОМ

Возьмем в качестве примера движущегося объекта автомобиль и рассмотрим при этом уравнения движения, фазовые координаты, управления и различия между последними. Мы

выбрали автомобиль, так как его свойства известны всем. Наши рассуждения можно применить, лишь с небольшими изменениями, к любому движущемуся объекту — к танкам или кораблям (от моторных лодок до крейсеров). Летательные аппараты движутся, разумеется, в трехмерном пространстве, но принцип остается тем же.

Геометрическое положение объекта, например автомобиля, описывается тремя фазовыми координатами: декартовы координаты некоторой фиксированной точки автомобиля и угол, образуемый осью автомобиля с фиксированным направлением, например направлением Предполагается, что движение происходит во всей плоскости Если автомобиль фигурирует в дифференциальной игре, то нам нужно знать о нем больше. Предположим, что автомобиль управляется с помощью мотора и рулевого колеса. Мотор управляет тангенциальным ускорением. Эта величина, находящаяся под контролем игрока, является управлением и будет обозначаться через Чтобы иметь простой и единообразный вид границ управлений, мы примем ускорение равным Здесь А — максимальное возможное ускорение, и управление подчиняется теперь ограничению вида Таким образом, оно является долей полного ускорения и находится под контролем водителя. Скорость не находится под непосредственным контролем водителя, но ее величину, как и величины оба игрока, участвующие в игре, должны принимать в расчет. Следовательно, она должна рассматриваться как фазовая координата.

Положение рулевого колеса определяет кривизну траектории автомобиля. Но нереально считать, что водитель может менять ее произвольно. Имеет смысл принять кривизну траектории автомобиля за еще одну фазовую координату (очевидно, физически это есть угол поворота передних колес), а долю скорости ее изменения — за управление Итак, если максимальная скорость изменения величины скорость, выбираемая водителем, равна где

В этих предположениях движение автомобиля будет определяться следующими уравнениями движения:

Здесь (1), (2) есть просто разложение скорости автомобиля по осям координат; (3) устанавливает, что скорость изменения направления равна скорости, умноженной на кривизну. Что касается (4), то скорость изменения скорости есть ускорение, а (5) уже было обсуждено.

Резюмируя, можем сказать, что величины описывают те свойства нашего автомобиля, которые существенны при его участии, скажем, в игре преследования. Они называются фазовыми координатами. Водитель управляет с помощью величин (положение педали акселератора) и (доля скорости вращения рулевого колеса). Эти величины являются управлениями, и только они одни в каждый момент времени находятся под контролем игрока. Они, в отличие от фазовых координат, не могут быть измерены противником.

Читатель немедленно почувствует недостатки нашей модели. Наиболее явный из них состоит в том, что скорость оказывается неограниченной. Это можно исправить, налагая ограничения на но более естественно изменить само уравнение (4). Во-первых, утверждение, что сила, развиваемая мотором, пропорциональна величине, на которую отжата педаль акселератора, следует считать сверхупрощением динамики автомобиля. Во-вторых, самое важное, эта сила пропорциональна ускорению автомобиля, только если мы пренебрегаем трением. Если предположить для простоты, что трение пропорционально скорости и направлено в противоположную ей сторону, то мы получим улучшенный вариант уравнения (4):

Здесь величина, на которую отжата педаль акселератора, результирующая сила (на единицу массы автомобиля), развиваемая мотором, а — коэффициент трения. Тогда скорость будет ограничена величиной

Другая существенная поправка состоит в ограничении кривизны (Всякий, кто пытался развернуть машину на узкой улице, не нуждается в дальнейших пояснениях.)

Итак, уравнения движения можно усложнить для получения более точного соответствия с действительностью или упростить для облегчения математических выкладок. В большинстве задач, которые будут приведены в следующих главах, мы предпочли делать последнее, поскольку иногда математическая сторона

окажется там достаточно сложной и без утонченных деталей, в принципе мало что добавляющих.

Рассмотрим второй пример. Точка движется на плоскости с тем лишь ограничением, что величина ее скорости постоянна. Управляющий игрок выбирает направление движения и может резко менять его в любой момент времени. Имеется единственное управление направление скорости. Уравнения движения имеют вид

Здесь только две фазовые координаты: Такой случай будем называть простым движением.