ДОПОЛНЕНИЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ

Выведем аналитические выражения, относящиеся к области определения правых притоков, и дифференциальные уравнения экивокальной кривой. Начнем с того, что соберем весь обычный материал. Уравнения движения таковы:

здесь Основное уравнение (4.2.3) имеет вид

где

Уравнениями характеристик будут

Отметим, кстати, что

Универсальная кривая задается уравнением

следовательно, мы знаем значение V на ней:

Обычным способом дополним начальные условия соотношениями

Последнее следует из симметрии и из известной нам непрерывности на линейной универсальной поверхности. Для правой стороны мы, очевидно, возьмем

Интегрирование уравнений характеристик с этими условиями дает

Последняя пара соотношений является уравнениями правых притоков.

Умножая на и складывая, получаем

По отношению, скажем, к это равенство есть алгебраическое уравнение. Решив его, найдем

где расстояние от до точки длина касательной из точки х к окружности правого разворота. Тогда, поскольку мы знаем как функцию от х и у, из мы можем вычислить и после этого найти V по формуле

Для изучения экивокальной поверхности более подходящими являются непосредственные выражения для они немедленно находятся из

Мы знаем, что на экивокальной поверхности вектор скорости указывает в точку О. При регрессивном движении это направление заменяется на противоположное, и тогда из уравнений движения мы получаем

где Условие экивокальной поверхности в регрессивной форме имеет вид

где относятся к притокам. Подставим в их выражение и заменим х и у их значениями из Полученное уравнение можно решить относительно после небольших вычислений находим

где

Итак, мы знаем оптимальную стратегию для экивокальной поверхности в каждой точке пространства У, где не нарушены ограничения на

Дифференциальные уравнения для экивокальной поверхности получаются подстановкой Тогда они превращаются в уравнения

Начальное условие состоит в том, чтобы интегральная кривая прошла через точку В. Эта точка, как мы знаем, лежит на нижнем луче, проведенном из начала координат по касательной к Если теперь зафиксировать все параметры нашей задачи, за исключением размеров области захвата, то точка В может попасть на любую точку этого луча в определенных

пределах. Следовательно, в качестве начальных условий мы можем взять при любую точку луча, т. е.

где (на самом же деле должно быть достаточно велико).

Проблема Решить дифференциальные уравнения в замкнутой форме, если это возможно. Дают ли они какие-нибудь интересные геометрические свойства экивокальной поверхности?

Проблема 10.А.2. Какова траектория или каковы ее дифференциальные уравнения в исходном пространстве, когда х движется по экивокальной поверхности?