7.8. СЛУЧАЙ, КОГДА ВСЕ СТРАТЕГИИ ОПТИМАЛЬНЫ

Могут быть такие области в где цена игры обеспечивается любым значением Мы будем рассматривать игры, описываемые лишь уравнениями типа (7.7.1).

Основной результат здесь состоит в получении необходимого условия, которому удовлетворяют такие области, причем оно оказывается идентичным условию

Основное уравнение имеет вид

Если в области все оптимальны, то обе скобки в равны нулю, и мы получаем систему уравнений относительно Решая ее, находим

Отсюда получаем тождество (поскольку

которое и является условием в форме (7.7.4).

Обратно, если это условие выполняется в некоторой области то должна существовать некоторая функция удовлетворяющая (7.8.2) и, следовательно, обращающая в нуль обе скобки в (7.8.1), т. е. тождественно удовлетворяющая основному уравнению.

Рис. 7.8.1.

Но такая функция, как известно, будет ценой игры, только если ее частные производные совпадают с на границе области

Пример 7.8.1. Пусть все вектограммы имеют вид, изображенный на рис. 7.8.1; платой будет время окончания игры, т. е. Тогда уравнения движения будут

Если выбрать так, как на рис. 7.8.1, то сразу можно сказать, что

Однако условие (7.8.3) везде выполняется, ибо все постоянны.

Проблема 7.8.1. Исследовать связь между отсутствием оптимальных траекторий и условиями в более общем случае.