2.3. ОКОНЧАНИЕ ИГРЫ

Имеется некоторая поверхность называемая терминальной поверхностью и представляющая собой часть границы пространства Когда х достигает игра оканчивается.

Приняв такую формулировку окончания игры как часть канонического определения, необходимо пояснить мотивы, побудившие нас к этому. Почему поверхность? Почему часть границы пространства

Игра преследования обычно заканчивается захватом, который должен состоять, как это кажется на первый взгляд, в совпадении точек Тогда, если -полный набор переменных, описывающих положение то соответствующее захвату подмножество пространства должно иметь размерность, меньшую чем Мы отказываемся от такого определения захвата по двум причинам.

Во-первых, оно нереально. Точка или может быть в приложениях некоторой фиксированной точкой на большом снаряде (самолете, корабле, торпеде и т. д.), служащей для указания местоположения снаряда. Уже по этой причине никогда не совпадут. В тактических ситуациях часто для осуществления захвата непосредственный контакт не нужен, нужна лишь некоторая близость. Таким образом, более разумный критерий захвата — определить некоторое положительное число и считать, что захват осуществляется, когда расстояние между равно этому числу Множество всех точек захвата можно описать одним уравнением, и, следовательно, это множество представляет собой поверхность в

Вторая причина является главной. Для нахождения решений мы в основном будем применять аппарат дифференциальных уравнений Терминальная поверхность, используемая для получения начальных условий, должна иметь как раз такую размерность, которая обеспечила бы единственное решение Уменьшение размерности многообразия влечет за собой,

вообще говоря, появление особых точек. (В гл. 6 приведены примеры игр, патологичные из-за того, что эта размерность недостаточна.) Если нам встречались игры, где терминальное множество оказывалось слишком малой размерности, мы исправляли это, используя границу его -окрестности как терминальную поверхность. При желании можно исследовать предельный случай при

Предположим, что при формулировке игры, не имеющей физического смысла, оказалось, что поверхность находится не на границе, а внутри Тогда она собою разделяет или, иначе, имеет две «стороны». Часто мы будем считать окончанием игры только те случаи, когда х достигает с какой-то определенной стороны. Например, предположим, что описанная выше игра преследования начинается, когда Ясно, что мы не будем считать захватом выполнение условия Мы просто исключим из все положения, для которых станет частью границы.

Однако могут быть случаи, в которых желательно, чтобы была внутри Тогда мы будем различать приближение х к с разных сторон. Мы можем представлять себе «разрезанным» вдоль а саму поверхность считать двусторонней. Таким образом, в этом смысле мы восстанавливаем в ее роли границы.

Как будем мы действовать в том случае, если х никогда не достигает Представляется разумным и вполне практичным поступать следующим образом. Выбираем некоторое большое значение времени и по истечении этого времени считаем игру завершенной. Можно сделать эту ситуацию канонической, если ввести время как новую фазовую координату Тем самым мы увеличиваем систему уравнений движения добавлением уравнения и берем в качестве нового пространства прямое произведение старого на отрезок ; новая поверхность есть прямое произведение старой на причем многообразие ограничивает новое Мы просто рассматриваем игру большей размерности, начинающуюся из точек х, для которых

Поскольку является поверхностью, т. е. -мерным многообразием, мы можем выразить ее через параметр. Сделав это обычным способом, получим

Будем полагать эти функции дифференцируемыми. В рассматриваемых задачах может быть в худшем случае кусочно-гладкой; тогда каждый кусок мы будем рассматривать отдельно.