7.5. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ n=3

Условия (7.4.8) [или (7.4.9)] не дают непосредственного указания, каким образом отыскивать подозрительные поверхности, поскольку они включают которые не известны в начале решения задачи.

Однако при обстоятельства существенно упрощаются. Так как не все компоненты равны нулю, то на подозрительной поверхности мы сразу получаем условие

Это — уравнение относительно оно может описывать одну или несколько поверхностей. Каждая такая поверхность, на которой также выполняется условие подозрительна, и обратно.

Процесс отыскания универсальных поверхностей для какого-либо значения состоит в следующем. Пусть при построении решения мы сталкиваемся с областью в вокруг которой оптимальные траектории рассеиваются, оставляя ее пустой, т. е. не заполненной траекториями, как, скажем, заштрихованная область на рис. 7.5.1, а (здесь Мы ищем подозрительную поверхность. Предположим, что найдена одна траектория (рис. внутри пустой области. «Втекающие» траектории будут гладко сливаться с ибо из линейности уравнений движения относительно следует, что уравнения для не содержат Таким образом, для определенного выбранного значения а траектория зависит лишь от начальных значений и

поэтому траектории, заполняющие такую область на рис. 7.5.1,6), образуют гладкое семейство.

Итак, пустая область оказывается заполненной траекториями и, следовательно, можно найти функции Насколько мы можем быть уверены, что они составляют истинное решение?

Мы уже доказали непрерывность V и частных производных ее вдоль универсальной поверхности.

Рис. 7.5.1.

Они непрерывны также на таких узловых траекториях, как и на рисунке, поскольку можно получить, интегрируя уравнения характеристик в регрессивной форме с начальными условиями, которые, даже если они заданы частично на универсальной поверхности, а частично на все равно непрерывны. Таким образом, мы всюду получаем решение основного уравнения, причем можно использовать технику доказательства теоремы 4.4.1.

Пример 7.5.1. Применим найденный критерий к случаю, изображенному на рис. 7.3.5.

Несколько изменив обозначения, напишем уравнения движения в примере 7.3.1:

Третье уравнение возникает в результате нашего обычного способа преобразования интегральной платы в терминальную

(см. § 2.4; разумеется, здесь ). Тогда

Определитель (7.5.1) имеет вид

Поскольку наше условие превращается в (ср. с (7.3.1)). Ясно, что оно выполняется на

Разумеется, это требование есть не более чем обычное необходимое условие, общее для всех задач минимизации: равенство нулю производной в точке минимума функции.

Пример 7.5.2. Кратчайший путь автомобиля, лодки или самолета к месту назначения. Пусть, скажем, автомобиль передвигается с фиксированной скоростью, а кривизна его траектории ограничена заданным значением Управление состоит в выборе в каждый момент определенного значения этой кривизны (что соответствует повороту на некоторый угол безынерционного управляющего колеса или руля). Мы хотим за кратчайшее время перевести автомобиль из заданного начального положения внутрь круга радиуса I с центром в фиксированной точке А. Ввиду того что скорость считается постоянной, эквивалентной задачей будет отыскание траектории наименьшей длины.

Ясно, что это вариант игры «шофер-убийца» для случая, когда пешеход неподвижен. Уравнения движения те же самые, что и в примере 2.2.2, но теперь (скорость движения равна нулю. Заменим на а вместо х, у будем писать Тогда уравнения движения примера 2.2.2 превращаются в

а чтобы преобразовать плату в терминальную, присоединяем к ним еще уравнение

В этом трехмерном пространстве терминальная поверхность 46 представляет собой цилиндр с радиусом I и осью Обычным путем получаем, что соответственно для правой и левой верхних сторон терминальной поверхности. На любом ее сечении траектории будут дугами концентрических окружностей с центрами в точках как показано на рис. 7.5.2, а.

Рис. 7.5.2.

Такие дуги соответствуют максимальному повороту руля вправо или влево; при этом траектории оставляют незаполненной область, заштрихованную на рисунке. Проверим теперь условия Мы имеем

Кроме того, вычисляя, получаем

Тогда

Плоскость по которой происходит движение при является подозрительной поверхностью. Вернемся к двумерному варианту (плоскость и ) и используем начальные условия

Применяя их обычным способом при решении уравнений характеристик, получаем «втекающие» траектории, которые также представляют собой дуги концентрических окружностей с центрами в точках

Формальные подробности интегрирования уравнений характеристик, получения V и т. д. мы опускаем как не представляющие большого интереса.

Рис. 7.5.3.

Вместо этого отметим простоту и убедительность найденного результата.

На универсальной поверхности мы получили что соответствует движению по прямой. «Втекающие» траектории представляют собой крутые развороты, предшествующие такому движению. В естественном пространстве это означает, что движущийся объект делает крутой поворот к цели А, а затем уже продолжает движение по прямой линии, как показано на рис. 7.5.3.