2.5. ИГРЫ КАЧЕСТВА И ИГРЫ СТЕПЕНИ

Когда мы говорим о результате игры степени, мы имеем в виду одно значение из континуума возможных значений, которые может принимать плата, как было описано в предыдущем параграфе. Игра качества имеет конечное число возможных исходов (обычно два), зависящих от того, сможет или нет один из игроков достичь определенной цели. В игре преследования, например, целью одного игрока может быть захват другого; в боевых играх — полное истребление противника.

Если задано правило остановки игры, то игра качества становится игрой с терминальной платой, для которой принимает конечное множество значений. Игра вкладывается в нашу схему и не требует специального истолкования. Однако часто оказывается желательным и возможным любой игре качества сопоставить некоторую игру степени и иметь дело с этой последней.

Решение игры качества может быть существенно неоднозначным. Оно сводится к делению на два (иногда более подмножества, и для каждого игрока одно из них (возможно, пустое) бывает предпочтительнее другого. Если начальная точка лежит на множестве, предпочтительном, например, для то он может достичь своей цели. Тогда обычно некая стратегия оптимальна для него до тех пор, пока позволяет ему оставаться

на этом множестве, в то время как для противника оптимальна любая стратегия. Эти идеи будут развиты в гл. 8.

Рассмотрим два вида игр качества.

1. Игра преследования, целью которой является захват.

2. Та же самая игра, цель которой — захват за время, не превосходящее некоторого фиксированного значения Такой случай может быть, скажем, если является перехватчиком с ограниченным запасом горючего.

В обоих случаях мы ничего не потеряем, а выиграть можем многое, если в качестве платы выберем время захвата, которое можно взять равным бесконечности, если захват не осуществляется. Теперь мы можем надеяться выделить одну оптимальную стратегию из целого класса оптимальных стратегий, описываемых неравенствами. В случае 1 стратегия будет теперь не только указывать, как может осуществить захват, но и как ему сделать это возможно быстрее. Соответственно она указывает, как может отсрочить захват. В случае 2 нам нужно всего лишь получить цену игры и посмотреть, превосходит она или нет. Мы получаем решение случая 2 сразу для всех значений

Однако мы не будем проповедовать отказ от игр качества; действительно, некоторые из следующих глав посвящены им. Бывают случаи, когда непосредственное решение много проще, чем предложенное сведение игр качества к играм степени, а дополнительная информация мала. Иногда также игра качества является частью какой-то игры степени. Например, игрок может быть не в состоянии добиться цели, если он сперва не преодолеет некоторые препятствия. Вопрос о том, сможет или нет он преодолеть их, составляет игру качества, решение которой можно считать первым этапом полного решения игры.

Когда мы будем говорить об игре, не указывая, является она игрой качества или степени, мы будем подразумевать последнее.