9.2. ИГРА ДВУХ АВТОМОБИЛЕЙ
В этом и следующем параграфах рассмотрены две задачи того же самого типа, что игра «шофер-убийца», но более трудные. Первая из них приводит к столь утомительным исследованиям, что мы должны довольствоваться решением, в принципе полным, но не описывающим всех деталей.
Рис. 9.2.1.
Конечно, любой частный случай — при конкретных значениях параметров — можно рассчитать полностью.
Игра двух автомобилей была сформулирована в упражнении 8.1.1. Она во всем аналогична игре «шофер-убийца», с той лишь разницей, что здесь на кривизну траектории
также наложено ограничение. Пусть
скорости
минимальные радиусы кривизны их траекторий. Размерность редуцированного пространства равна 3; координаты можно выбирать различными способами. Выберем
так, как показано на рис. 9.2.1. Эти координаты, по-видимому,
являются удобными с точки зрения интегрирования довольно громоздких дифференциальных уравнений. Кроме того, они аналогичны случаю игры «шофер-убийца», что позволяет нам делать обобщения. Рисунок 9.2.2 изображает редуцированное пространство
оно представляет собой внешнюю область цилиндра радиуса
Рис. 9.2.2.
Ясно, что
меняется в пределах от
до
и плоскости, соответствующие этим двум значениям 0, совпадают. Нетрудно написать уравнения движения
Обозначим
и запишем основное уравнение
Из этого уравнения получаем
Теперь обычным способом получаем уравнения характеристик
где для краткости введено обозначение
В результате очевидных вычислений получаем
Рассмотрим теперь начальные условия. Параметризацию задаем следующим образом:
как показано на рис. 9.2.2. Если
то из уравнений движения получаем
это соотношение на
превращается в
Граница допустимой области (где
задается соотношениями
где
Знак
означает, что в каждой части поверхности
где
граница допустимой области состоит из пары диаметрально противоположных точек.
Далее мы будем различать случаи
В первом случае из (9.2.2) следует, что
никогда не меняет знак. Тогда две границы допустимой области остаются более или менее на противоположных сторонах поверхности
и допустимая область приблизительно покрывает верхнюю половину
Такой случай изображает рис. 9.2.2. С другой стороны, если
изменение знака
означает, что граница допустимой области закручивается вокруг
Упражнение 9.2.1. Дать геометрическую интерпретацию этих положений с помощью вектограмм.
В целях экономии места рассмотрим подробно лишь случай
Чтобы получить начальные значения
нужно исследовать
на границе допустимой области. Поскольку здесь
легко видеть, что
на границе допустимой области. Следовательно, начальные значения
и определяются знаками
Таким образом, из (9.2.1) получаем
(предполагается, что
Итак,
для правой части границы допустимой области. Ввиду симметрии можно рассматривать лишь эту границу, приняв
и знак
вместо знака
Из уравнений характеристик получаем
Отсюда следует, что
меняет знак в том случае, когда
Пусть
угол в первой четверти, такой, что
Тогда
принимает значения
Из уравнений характеристик следует, что х и у не зависят от
а
зависит и меняется скачком при
Когда при возрастании
проходит значение
в этой точке
увеличивается скачком. Это означает, что траектории из
удаляются друг от друга, оставляя пустую область, которая должна быть заполнена универсальной кривой и входящими в нее траекториями.
В точке
напротив,
уменьшается скачком; поверхности, образованные траекториями с той и другой стороны от
должны пересекаться. Отбрасывая пересекающиеся части, получаем рассеивающую кривую. Заметим, что, поскольку
всюду на этом правом барьере, нет необходимости в мгновенной смешанной стратегии.
Однако вернемся к универсальной кривой. Учитывая, что она является
-универсальной, согласно обозначениям гл. 7, выпишем
из уравнений движения и затем подсчитаем
(см. скан)
Раскрывая определитель, после сокращения на множители
получаем
Как определить кривую на этой поверхности? Дифференцируя (9.2.5) по
и используя уравнения характеристик (где заменено на
находим траектории, образующие поверхность:
Отсюда следует, что либо
либо равно нулю выражение в квадратных скобках. Последнее допущение вместе с (9.2.5) приводит к соотношениям
Эти два уравнения выполняются вдоль кривой в У, на которой, как видно из уравнений характеристик,
Такое
статическое соотношение вряд ли удовлетворяет нас. Поэтому мы положим
Возвращаясь снова к уравнениям характеристик, после замены
на
на
получаем
Из третьего уравнения следует, что
Подставив
впервые два уравнения, получаем соотношения, в точности совпадающие с уравнениями барьера (9.1.3) для задачи «шофер-убийца». Следовательно, проекция универсальной кривой на плоскость х, у является эвольвентой барьера для игры «шофер-убийца».
Этот вывод полностью согласуется с общей концепцией универсальной поверхности. Он означает, что игрок
следуя оптимальной нейтральной стратегии, круто поворачивает вправо или влево до тех пор, пока не добивается подходящей ориентации, так же, как в игре «шофер-убийца».
Мы еще не проинтегрировали уравнения характеристик. Интегрируя с уже найденными начальными условиями для
получаем следующий легко проверяемый результат. Мы сохраняем обозначения
таким образом, эти
аектории годны для всех вариантов задачи:
В этих уравнениях
должно быть заменено по формулам (9.2.2). Сюда же присоединим
Найдем наименьшие положительные значения
при которых
обращаются в нуль. Не заботясь о формальном
обосновании, будем считать, что меньшее из таких
соответствует окончанию барьера; итак, мы имеем
На рис. 9.2.3 изображено, как приблизительно должен выглядеть правый барьер. Левый, разумеется, имеет аналогичный вид; отметим, что рассеивающая кривая исходит из точки
а универсальная — из точки
причем рассеивающая кривая поворачивает в сторону плоскости
Рис. 9.2.3.
Вопрос о возможности избежать захвата эквивалентен вопросу о том, происходит ли пересечение правого и левого барьеров и отделяют ли они некоторую часть пространства У, содержащую допустимую область. Однако в каких случаях можно утверждать, что это происходит? По-видимому, попытка получить ответ привела бы к довольно сложным вычислениям.
Не так-то просто найти даже рассеивающую кривую, хотя в принципе ясно, как это сделать, А именно, в первые три уравнения (9.2.6) подставляем
рассматривается правый барьер) и заменяем
по формуле (9.2.2), в которой знак
меняем на
Напишем эту систему дважды: для случаев
и рассмотрим правые части обеих систем для различных
Затем приравняем значения
и
для двух систем; это дает нам три уравнения для получения двух значений
и двух значений
Они должны иметь однопараметрическое семейство решений, которое определяет искомую рассеивающую кривую. Разумеется, полученное значение
должно лежать между
и
а два значения
должны лежать с разных сторон от
Для любых конкретных значений
можно получить эмпирический ответ. Одним из способов получения его является построение сечений барьеров плоскостями
с тем чтобы исследовать, пересекаются они или нет. При этом необходимые уравнения легко получить незначительным изменением уравнений (9.2.6).
Что изменится при рассмотрении случая
Из (9.2.2) следует, что
следовательно,
меняют знак при
а из (9.2.4) следует, что
остается постоянным на каждом из барьеров. По-видимому, барьеры также будут содержать рассеивающую и универсальную кривые, но теперь универсальная кривая должна быть уже
-универсальной, а не
-универсальной. Можно сделать вывод, что, по-видимому, всегда стратегия игрока, обладающего меньшей скоростью, терпит разрывы на сингулярных поверхностях, независимо от ограничений на кривизну траекторий.
Проблема 9.2.1. Исследовать более полно случай
В частности, какова здесь универсальная кривая? Не совпадает ли она с барьером для случая игры преследования, в которой
перемещается простым движением, а кривизна траектории
ограничена?