9.2. ИГРА ДВУХ АВТОМОБИЛЕЙ

В этом и следующем параграфах рассмотрены две задачи того же самого типа, что игра «шофер-убийца», но более трудные. Первая из них приводит к столь утомительным исследованиям, что мы должны довольствоваться решением, в принципе полным, но не описывающим всех деталей.

Рис. 9.2.1.

Конечно, любой частный случай — при конкретных значениях параметров — можно рассчитать полностью.

Игра двух автомобилей была сформулирована в упражнении 8.1.1. Она во всем аналогична игре «шофер-убийца», с той лишь разницей, что здесь на кривизну траектории также наложено ограничение. Пусть скорости минимальные радиусы кривизны их траекторий. Размерность редуцированного пространства равна 3; координаты можно выбирать различными способами. Выберем так, как показано на рис. 9.2.1. Эти координаты, по-видимому,

являются удобными с точки зрения интегрирования довольно громоздких дифференциальных уравнений. Кроме того, они аналогичны случаю игры «шофер-убийца», что позволяет нам делать обобщения. Рисунок 9.2.2 изображает редуцированное пространство оно представляет собой внешнюю область цилиндра радиуса

Рис. 9.2.2.

Ясно, что меняется в пределах от до и плоскости, соответствующие этим двум значениям 0, совпадают. Нетрудно написать уравнения движения

Обозначим

и запишем основное уравнение

Из этого уравнения получаем

Теперь обычным способом получаем уравнения характеристик

где для краткости введено обозначение В результате очевидных вычислений получаем

Рассмотрим теперь начальные условия. Параметризацию задаем следующим образом:

как показано на рис. 9.2.2. Если то из уравнений движения получаем

это соотношение на превращается в

Граница допустимой области (где задается соотношениями

где Знак означает, что в каждой части поверхности где граница допустимой области состоит из пары диаметрально противоположных точек.

Далее мы будем различать случаи В первом случае из (9.2.2) следует, что никогда не меняет знак. Тогда две границы допустимой области остаются более или менее на противоположных сторонах поверхности и допустимая область приблизительно покрывает верхнюю половину Такой случай изображает рис. 9.2.2. С другой стороны, если

изменение знака означает, что граница допустимой области закручивается вокруг

Упражнение 9.2.1. Дать геометрическую интерпретацию этих положений с помощью вектограмм.

В целях экономии места рассмотрим подробно лишь случай

Чтобы получить начальные значения нужно исследовать на границе допустимой области. Поскольку здесь

легко видеть, что на границе допустимой области. Следовательно, начальные значения и определяются знаками

Таким образом, из (9.2.1) получаем

(предполагается, что Итак, для правой части границы допустимой области. Ввиду симметрии можно рассматривать лишь эту границу, приняв и знак вместо знака

Из уравнений характеристик получаем

Отсюда следует, что меняет знак в том случае, когда Пусть угол в первой четверти, такой, что

Тогда принимает значения

Из уравнений характеристик следует, что х и у не зависят от а зависит и меняется скачком при

Когда при возрастании проходит значение в этой точке увеличивается скачком. Это означает, что траектории из удаляются друг от друга, оставляя пустую область, которая должна быть заполнена универсальной кривой и входящими в нее траекториями.

В точке напротив, уменьшается скачком; поверхности, образованные траекториями с той и другой стороны от должны пересекаться. Отбрасывая пересекающиеся части, получаем рассеивающую кривую. Заметим, что, поскольку всюду на этом правом барьере, нет необходимости в мгновенной смешанной стратегии.

Однако вернемся к универсальной кривой. Учитывая, что она является -универсальной, согласно обозначениям гл. 7, выпишем из уравнений движения и затем подсчитаем

(см. скан)

Раскрывая определитель, после сокращения на множители получаем

Как определить кривую на этой поверхности? Дифференцируя (9.2.5) по и используя уравнения характеристик (где заменено на находим траектории, образующие поверхность:

Отсюда следует, что либо либо равно нулю выражение в квадратных скобках. Последнее допущение вместе с (9.2.5) приводит к соотношениям

Эти два уравнения выполняются вдоль кривой в У, на которой, как видно из уравнений характеристик, Такое

статическое соотношение вряд ли удовлетворяет нас. Поэтому мы положим Возвращаясь снова к уравнениям характеристик, после замены на на получаем

Из третьего уравнения следует, что Подставив впервые два уравнения, получаем соотношения, в точности совпадающие с уравнениями барьера (9.1.3) для задачи «шофер-убийца». Следовательно, проекция универсальной кривой на плоскость х, у является эвольвентой барьера для игры «шофер-убийца».

Этот вывод полностью согласуется с общей концепцией универсальной поверхности. Он означает, что игрок следуя оптимальной нейтральной стратегии, круто поворачивает вправо или влево до тех пор, пока не добивается подходящей ориентации, так же, как в игре «шофер-убийца».

Мы еще не проинтегрировали уравнения характеристик. Интегрируя с уже найденными начальными условиями для получаем следующий легко проверяемый результат. Мы сохраняем обозначения таким образом, эти аектории годны для всех вариантов задачи:

В этих уравнениях должно быть заменено по формулам (9.2.2). Сюда же присоединим

Найдем наименьшие положительные значения при которых обращаются в нуль. Не заботясь о формальном

обосновании, будем считать, что меньшее из таких соответствует окончанию барьера; итак, мы имеем

На рис. 9.2.3 изображено, как приблизительно должен выглядеть правый барьер. Левый, разумеется, имеет аналогичный вид; отметим, что рассеивающая кривая исходит из точки а универсальная — из точки причем рассеивающая кривая поворачивает в сторону плоскости

Рис. 9.2.3.

Вопрос о возможности избежать захвата эквивалентен вопросу о том, происходит ли пересечение правого и левого барьеров и отделяют ли они некоторую часть пространства У, содержащую допустимую область. Однако в каких случаях можно утверждать, что это происходит? По-видимому, попытка получить ответ привела бы к довольно сложным вычислениям.

Не так-то просто найти даже рассеивающую кривую, хотя в принципе ясно, как это сделать, А именно, в первые три уравнения (9.2.6) подставляем рассматривается правый барьер) и заменяем по формуле (9.2.2), в которой знак меняем на Напишем эту систему дважды: для случаев и рассмотрим правые части обеих систем для различных Затем приравняем значения и для двух систем; это дает нам три уравнения для получения двух значений и двух значений Они должны иметь однопараметрическое семейство решений, которое определяет искомую рассеивающую кривую. Разумеется, полученное значение должно лежать между и а два значения должны лежать с разных сторон от

Для любых конкретных значений можно получить эмпирический ответ. Одним из способов получения его является построение сечений барьеров плоскостями с тем чтобы исследовать, пересекаются они или нет. При этом необходимые уравнения легко получить незначительным изменением уравнений (9.2.6).

Что изменится при рассмотрении случая Из (9.2.2) следует, что следовательно, меняют знак при а из (9.2.4) следует, что остается постоянным на каждом из барьеров. По-видимому, барьеры также будут содержать рассеивающую и универсальную кривые, но теперь универсальная кривая должна быть уже -универсальной, а не -универсальной. Можно сделать вывод, что, по-видимому, всегда стратегия игрока, обладающего меньшей скоростью, терпит разрывы на сингулярных поверхностях, независимо от ограничений на кривизну траекторий.

Проблема 9.2.1. Исследовать более полно случай В частности, какова здесь универсальная кривая? Не совпадает ли она с барьером для случая игры преследования, в которой перемещается простым движением, а кривизна траектории ограничена?