10.2. «ШОФЕР-УБИЙЦА». ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ИГРЫ КАЧЕСТВА

Используем симметрию игры, считая почти всегда, что находится на линии движения или справа от нее. Другими словами, мы будем работать в правой полуплоскости редуцированного пространства

Для решения игры качества надо построить барьер. С помощью нашей стандартной техники мы уже сделали это в § 9.1, но теперь этот же барьер мы получим геометрически.

Решение игры степени, платой в которой является время захвата, существенно зависит от барьера. Как мы уже видели и увидим вновь, он состоит из двух дуг эвольвент окружностей, и Если эти дуги пересекаются, то может поймать только тогда, когда х лежит в криволинейном треугольнике,

ограниченном этими дугами и окружностью (см. рис. 9.1.2). Но такое положение, как мы уже отмечали раньше, тривиально: расположен непосредственно на пути движущегося объекта. Итак, мы убедились, что пересечение барьеров является общим условием, обеспечивающим возможность избежать захвата.

Мы, разумеется, можем и в этом случае решить игру со временем захвата в качестве платы (решение будет существовать только в треугольнике). Однако гораздо важнее научиться понимать случай непересекающихся барьеров. Эти кривые в этом случае продолжают играть важную роль. Они разграничивают положения, в которых оптимально прямолинейное преследование, от тех положений, в которых маневрирование необходимо (см. § 1.5).

Вспомним, что перемещается по плоскости со скоростью (простое движение). Тогда вектограмма в редуцированном пространстве т. е. на плоскости, жестко связанной с объектом очевидна: это по-прежнему круговая вектограмма с радиусом

Однако вектограмма для (ф-вектограмма) не столь очевидна. Сначала (лемма 10.2.1) опишем ее в геометрических терминах. Вспомним, что движется с фиксированной скоростью и с радиусом кривизны, ограниченным по абсолютной величине данным числом В каждый момент времени он перемещается, выбирая кривизну своего пути (где —

Лемма 10.2.1. В каждой точке X пространства для построения -вектограммы надо сделать следующее (см. рис. 10.2.1, а).

1) Из точки X провести вертикально вниз вектор длиной

2) Через точку А провести прямую перпендикулярную к (О — начало координат). На прямой будут лежать концы векторов вектограммы.

3) Из точки X провести векторы оканчивающиеся на которые соответственно перпендикулярны к прямым, соединяющим точки с точкой Эти векторы будут крайними в вектограмме и будут соответствовать значениям

Доказательство. Положим -Тогда центр кривизны, выбираемый игроком лежит в точке (рис. 10.2.1, б). Положим

Теперь вращение вокруг точки С в исходном пространстве эквивалентно вращению X вокруг точки С в пространстве в противоположном направлении, но с той же угловой скоростью. Результирующей скоростью точки X будет вектор перпендикулярный к и равный по модулю

Рассмотрим треугольники и Они имеют две пары взаимно перпендикулярных сторон, и отношение длин этих сторон равно в обоих треугольниках. Следовательно, они подобны, и третьи их стороны и также взаимно перпендикулярны. Это доказывает условие 2), а условие 3) следует из ограничений на

Рис. 10.2.1. (см. скан)

Лемма 10.2.2. Для построения полупроницаемого направления (должным образом ориентированного для получения барьера) начертим, во-первых, окружность с центром в точке радиуса Искомым направлением служит нижняя

касательная на рис. 10.2.2, а), проведенная из точки X к этой окружности. Локально оптимальными стратегиями будут и такое что скорость игрока равна где точка касания.

Доказательство. Если использует вектор то ясно, что результирующие векторы при любом выборе начинающиеся в точке кончаются в точках окружности (как вектор на рисунке).

Рис. 10.2.2.

Ни один из них не проникает через в нижнюю полуплоскость.

Если использует стратегию то пусть — вектор, равный начинающийся в точке (см. рис. Результирующие скорости при любом выборе X соответствуют векторам где точка замкнутого отрезка Ни один из них не проникает через в верхнюю полуплоскость.

Лемма 10.2.3. Полупроницаемая поверхность (расположенная в правой полуплоскости и ориентированная, как указано выше) является эвольвентой окружности

Доказательство. Из точки X проведем касательную к окружности (см. рис. 10.2.3).

В прямоугольном треугольнике отношение равно где Из доказательства леммы 10.2.1 мы знаем, что и отсюда следует, что соответствующее отношение в прямоугольном треугольнике такое же. Эти треугольники подобны. Поскольку по лемме перпендикулярно отсюда следует, что полупроницаемое направление перпендикулярно XI. Из классических результатов, касающихся полей направлений и дифференциальных уравнений, следует теперь доказательство леммы.

Лемма 10.2.4. Проведем нижнюю касательную из точки О к окружности Эвольвента, построенная в лемме 10.2.3, перестает быть полупроницаемой ниже этой прямой.

Доказательство. При рассмотрении рисунка становится ясно, что свойство полупроницаемости прямой теряется, если отрезок лежит по ту же сторону от что и точка

Рис. 10.2.3.

Тем самым достаточно показать, что при движении X по эвольвенте по часовой стрелке угол убывает и обращается в нуль при пересечении X с нашей прямой.

Далее, прямая параллельна базовой линии где расположены концы векторов -вектограммы. Напомним, что перпендикулярна Итак, нам надо показать, что по мере развертывания эвольвенты дополнительный угол а между и (см. рис. 10.2.4) возрастает и превращается в прямой угол, когда X пересекает прямую (в точке В на рисунке). Но это очевидно, так как а стремится к прямому углу, когда и сближаются; предел достигается, когда X приходит в точку В.

Теперь мы уже можем восстановить конструкцию барьера. Пусть зона захвата ограничена произвольной выпуклой кривой окружающей точку О.

Теорема 10.2.1. Правый барьер строится следующим образом (левый является его отражением относительно оси ординат).

Начертим эвольвенту для круга разматывающуюся по часовой стрелке и касающуюся Если такой эвольвенты не существует, то барьера нет. В противном случае барьером служит дуга эвольвенты, продолжающаяся (в смысле раскручивания) от точки касания с до первой точки встречи с левым барьером или с нижней касательной к кругу проходящей через точку О.

Рис. 10.2.4.

Единственное, что осталось недоказанным в предыдущих леммах, это то, что допустимая область кривой ограничена точками касания с эвольвентами. Однако если предположить, что гладкая, и считать известным, что допустимая область представляет собой связную дугу в верхней части кривой то, поскольку касание с барьером эквивалентно условию, определяющему границу допустимой области (см. § 8.5.1), мы убеждаемся в справедливости теоремы.