Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ПРИЛОЖЕНИЕ. Обзор некоторых результатов по теории дифференциальных игрМ. И. Зеликин, Э. Н. Симакова Теория дифференциальных игр — это новое математическое направление, возникшее всего лишь несколько лет назад. Она тесно связана с теорией оптимального синтеза, адаптивными процессами и управлением случайными процессами; некоторые ее аспекты переплетаются с такими классическими направлениями, как многошаговые (дискретные) игры, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Теория дифференциальных игр, интенсивно развивающаяся в настоящее время, весьма далека от завершения. В этом обзоре мы попытаемся осветить современное состояние и наиболее существенные продвижения в теории дифференциальных игр, не затронутые в книге Айзекса. Первые работы, посвященные дифференциальным играм, появились 10—15 лет назад. Толчком к изучению дифференциальных игр послужили задачи из различных практических областей. Одним из первых интересные результаты в этой области получил Р. Айзеке. Вопросы существования решения дифференциальной игры и вопросы сходимости решения многошаговой игры к решению дифференциальной исследовал в 1957-1964 гг. В. Флеминг [1-З]1). Л. Берковиц [4, 5], используя подходы вариационного исчисления, получил в 1964 г. необходимые условия оптимальности и некоторые достаточные условия, сформулированные в терминах поля. Достаточные условия в более общих предположениях, а именно когда решение уравнения Беллмана может иметь ветвление, получены Л. С. Понтрягиным [6, 7] в 1964 г. Практический метод решения некоторых дифференциальных игр был предложен в 1965 г. Н. Н. Красовским и др. [8, 9]. Исследованию различных аспектов теории и решению конкретных задач посвящены появившиеся в последнее время работы [10—24, 27—35]. Мы будем использовать принятые в советской литературе обозначения, которые несколько отличаются от обозначений, применяемых Айзексом. Игра задается системой дифференциальных уравнений
где
где Стратегиями называются вектор-функции Эта игра будет в дальнейшем обозначаться 1. Вопросы сходимости и существования. Вопрос о существовании цены игры и оптимальных стратегий игроков в общей задаче дифференциальных игр очень сложен. Оптимальные стратегии Известно, что всякая многошаговая игра с полной информацией имеет седловую точку в чистых стратегиях (см., например, [25, теорема 6.1]). Поэтому естественный подход к проблеме существования в дифференциальных играх — исследовать их как предельный случай многошаговых игр, когда число шагов неограниченно возрастает. Такой подход в настоящее время разработан Флемингом Флеминг рассматривает дифференциальную игру
где С — константа, не зависящая от
где
где Индукцией по
Здесь Назовем минорантой игру, совпадающую с игрой
Легко видеть, что
Определенные таким образом минорантная и мажорантная игры представляют собой многошаговые игры с полной информацией, для которых доказано существование решения в чистых стратегиях (см., например, [25]). В работах [1, 2] устанавливается, что если в многошаговой игре
то справедливы соотношения
В статье [10] получен более слабый результат для общего случая игр на выживание, а именно, там показано, что предел функции
где В работе [3], посвященной проблеме сходимости, с помощью интересного построения доказано более сильное утверждение: Если в многошаговой игре Остановимся коротко на основных этапах доказательства этого утверждения. Наряду с детерминированной игрой
где
Эта стохастическая игра имеет решение в смешанных стратегиях Рассмотрим теперь нелинейное параболическое уравнение
где Тогда (см., например, [3]) для каждого
для каждого состояния Использование некоторых вероятностных соображений позволяет оценить разность между ценой детерминированной многошаговой игры
где К — положительная константа. Теперь из (11) и (12) легко следует доказываемое утверждение. В самом деле,
и так как Формальный переход к пределу при
Это уравнение было, по-видимому, впервые получено Уравнение (13) для дифференциальных игр является аналогом уравнения Гамильтона — Якоби для задач вариационного исчисления. В классических работах по вариационному исчислению существование решения уравнения Гамильтона — Якоби показано в предположении существования гладкого поля экстремалей. В ряде работ по уравнениям в частных производных [29—33] при значительно менее жестких условиях доказано существование решения уравнения Гамильтона — Якоби, правда в некотором обобщенном смысле. Остановимся несколько подробнее на аналогичных результатах, полученных в [29] для уравнений типа (13). Рассматривается задача Коши для уравнения в частных производных первого порядка:
где функция
Основной результат работы [29] — это установление существования обобщенного решения уравнения (14). Методы доказательства этого результата аналогичны методам работы [3] и основаны на несколько более общих конструкциях, представляющих самостоятельный интерес. Рассмотрим вспомогательную стохастическую игру с полной информацией, описываемую системой стохастических дифференциальных уравнений
где качестве платы возьмем условное математическое ожидание (при условии, что
функционала (2). Главная причина рассмотрения такого рода конструкций заключается в том, что функция
при некоторых ограничениях гладкости на
где
Детерминированный аналог уравнения
где
здесь Доказательство существования обобщенного решения (в смысле Соболева) уравнения (18) для вырожденного оператора Рассматривается невырожденное параболическое уравнение, зависящее от малого параметра
где Рассмотренные выше стохастические дифференциальные игры, которые использовались в качестве вспомогательных конструкций в проблемах сходимости и существования, тесно связаны с теорией управляемых диффузионных процессов (см. [40, 41]) и представляют самостоятельный интерес. В работе [12] рассматривалась стохастическая дифференциальная игра типа (15), (16), где в качестве терминального многообразия взята граница некоторой области в расширенном пространстве состояний На основании результатов, связанных с существованием решений квазилинейных параболических уравнений, в работе [12] показано, что цена игры удовлетворяет уравнению (13) и достигается на чистых стратегиях. Кроме рассмотренных выше работ, вопросы существования решения дифференциальных игр затронуты в [13, 14]. В частности, в [13] дифференциальная игра рассматривается в рамках общей теории непрерывных игр, формулируемых следующим образом. Стратегии игроков где 2. Необходимые условия оптимальности. Предположим, что сформулированная выше дифференциальная игра
и положим
Имеет место следующее необходимое условие оптимальности в форме, аналогичной принципу максимума Понтрягина (см. [37]). Пусть
Это условие было получено в работе [15] для случая гладкого синтеза. Аналогичные необходимые условия получены Л. Берковицем [5] для случая, когда любой допустимый синтез приводит к так называемому регулярному разложению области Предположим, что синтез 3. Достаточные условия оптимальности. Если найдена гладкая функция Берковицем в работе [5] сформулированы достаточные условия в терминах поля: если стратегии Дальнейшее продвижение в проблеме достаточных условий было сделано Л. С. Понтрягиным в [6, 7]. Для формулировки основного результата нам потребуется ввести некоторые обозначения и понятия. Рассмотрим дифференциальную игру преследования, описываемую уравнением
где
Окончанием игры считается достижение точкой z многообразия М. Введем функцию
где
где
Обозначим Рассмотрим случай, когда обратное отображение пространства Для удобства формулировки обозначим теперь Рассмотрим следующие условия: 1. Векторы 2. Если в некоторой точке многообразия 3. Функция так же функция 4. Квадратичные формы, соответствующие максимуму функции 5. В каждой точке 6. Уравнение
всегда разрешимо относительно и для всех 7. Многообразия 8. Для всякой точки а пространства
с начальным значением
9. Оба многообразия Сформулированная ниже теорема доказана в двух вариантах: при выполнении условий 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 или условий 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Теорема. Пусть Заметим, что существуют примеры, где нарушение условия 1 приводит к такому положению дел, когда выбор управления 4. Методы решения дифференциальных игр, не затронутые в книге Айзекса. Сущнвсть метода, предложенного в работах [8, 9], состоит в том, что нахождение оптимальных управлений игроков сводится к задаче нахождения управлений, позволяющих перевести игру в некоторую точку фазового пространства, определяемую областями достижимости Наконец, следует упомянуть так называемый «геометрический» метод, используемый в основном при решении игр преследования. Исходя из различных геометрических построений, можно получить «области достижимости» игроков 5. Некоторые конкретные задачи. Трудности, возникающие при решении конкретных дифференциальных игр, весьма существенны. Прежде всего остается открытым вопрос о существовании цены игры в общем случае игр на выживание. Рассмотренный Хорошими моделями дифференциальных игр, к тому же поддающимися геометрическим методам решения, являются так называемые простые игры преследования. В таких играх скорости игроков пространстве В работах [8, 9] рассматриваются игры преследования, описываемые линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами; платой является время захвата. На управления наложены ограничения интегрального типа. Игра преследования между однотипными объектами рассмотрена в [22]. Автор сводит задачу преследования к некоторой задаче об оптимальном быстродействии и находит аналитическое выражение оптимальных управлений игроков через оптимальные управления, полученные для последней задачи. В работе [23] наряду с некоторыми другими оптимальными задачами рассматривается игра преследования спутников, движущихся по круговой орбите радиуса В [44] рассмотрена плоская игра преследования между объектами, скорости и радиусы кривизны которых ограничены, в качестве платы выбирается время захвата, и захватом считается сближение игроков на заданное расстояние. Постановка этой задачи приведена Айзексом, а в работе [44] найдены оптимальные стратегии и определена цена игры в области, где начальное расстояние между объектами больше радиуса кривизны их траекторий. Постановка задачи в линейной игре преследования с фиксированным временем содержится в [24]; платой выбирается функционал, определяющий энергетические затраты игроков; необходимые условия получены формальным применением вариационного исчисления. ЛИТЕРАТУРА(см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|