9.1. ИГРА «ШОФЕР-УБИЙЦА»

Исследуем условия, при которых более увертливый, но менее быстрый может убежать от на кривизну траектории которого наложено ограничение.

Рис. 9.1.1.

Выбрав координаты и управления так, как это делалось раньше (рис. 9.1.1), напишем уже знакомые нам (§ 2.2) уравнения движения:

которым соответствует основное уравнение

Обозначив получаем

а основное уравнение (4.2.3) принимает вид

Обычным способом получаем уравнения характеристик

где

Теперь определим начальные условия. Поскольку определяется уравнениями

внешняя нормаль у задается компонентами

Тогда допустимая область удовлетворяет условию

Определяя 5 условием

получаем допустимую область в виде

и граница ее есть

Заметим, что на

поэтому рассмотрим производную А, которая равна здесь (так же как и во всем

Таким образом, на

Будем рассматривать правый барьер, положив

Левая сторона, разумеется, полностью симметрична. Запишем начальные условия для интегрирования уравнений характеристик в регрессивной форме:

Интегрирование двух последних уравнений характеристик дает

так что первые два превращаются в уравнения

которые, как легко можно проверить, имеют интегралы

Обозначим через и окружности радиуса с центром в точках т. е. окружности, концентричные окружностям наименьшего поворота.

Барьер является эвольвентой окружности касающейся как показано на рис. 9.1.2, а, а уравнения (9.1.4) представляют собой уравнения этой кривой.

Интегрируя (9.1.1), получаем

следовательно, функция А на не положительна при Нормаль к кривой, как следует из (9.1.2), есть

Рис. 9.1.2. (см. скан)

Легко видеть, что эта нормаль является нижней касательной, проведенной изначала координат к Попытавшись продолжить дальше, мы должны были бы изменить а на —1. Продолжение должно было бы быть дугой эвольвенты окружности в этом не было бы никакого противоречия, ясно, что нормаль должна касаться как так и

Но новая эвольвента должна была бы разворачиваться в направлении против часовой стрелки из и тогда она повторяла бы в обратном направлении , что не имеет смысла. Следовательно, оканчивается, и весь барьер (для правой полуплоскости) есть дуга эвольвенты от С до В, что и изображено на рисунке.

Кривая в левой полуплоскости, разумеется, симметрична 38 относительно оси у. В зависимости от значений параметров эти кривые могут встретиться или не встретиться, как показано на рис. 9.1.2, в и

В случае не делит на две части, и, следовательно, все представляет собой область захвата, т. е. может догнать противника из каждой точки пространства При начале игры из точки X, например, может заставить двигаться окольным путем вокруг это соответствует стратегии с маневром разворота (§ 1.5). Таким образом, барьер , даже когда он не отделяет области захвата от области избежания захвата, все же выделяет те начальные точки, которые приводят к маневру разворота.

Когда эвольвенты пересекаются, как на рис. 9.1.2, в, мы отбрасываем их части, лежащие за пересечением. Заштрихованный криволинейный треугольник есть область захвата; вся внешняя часть пространства является областью избежания захвата. Дадим этому некоторую эвристическую интерпретацию. Предположим, что параметры благоприятны для т. е. превосходство в скорости у игрока не слишком большое, I мало, а минимальный радиус разворота велик. Для наиболее естественно при таких обстоятельствах было бы просто отступать в сторону всякий раз, когда появляется угроза немедленного захвата. Для начального положения, соответствующего, например, точке на рис. 9.1.2, в, не имеет значения, что делает вплоть до момента угрозы. Можно представить себе, например, что он остается неподвижным. Попытка добиться своей цели приводит х к перемещению вниз от не обязан предпринимать что-нибудь до тех пор, пока х не окажется в окрестности барьера 38, где отступает в сторону. Это, как и следовало ожидать, означает, что х перемещается с внешней стороны барьера в окрестность эвольвенты, как показано на рис. 9.1.2, в. Здесь отступает в сторону и непосредственная угроза захвата исчезает до тех пор, пока не приготовится для новой попытки, при которой повторяется то же самое.

Область захвата, заштрихованная на рис. 9.1.2, в, состоит из таких точек, где расположен впереди и столь близко к нему, что, несмотря на свои кинематические преимущества, он не успевает отступить в сторону. Область захвата является

ограниченной, в то время как область избежания захвата неограничена; мы видим, что наше утверждение о том, что пересечение эвольвент или отсутствие такого пересечения является критерием захвата или избежания его, подтверждается.

С помощью рис. 9.1.3 можно легко написать аналитический критерий (приравнивая длины выделенных линий).

Рис. 9.1.3.

Рис. 9.1.4.

Если отношение скоростей меньше 1, то захват происходит при условии

а условие избежания захвата описывается противоположным неравенством.

Если имеет другую, отличную от круга форму, остается применимым критерий: происходит или нет пересечение эвольвент и