ГЛАВА 4. Математические обоснования и техника решения в малом

В этой главе сформулированы основные математические понятия, которые позволяют продолжить наши исследования. Сначала приведены два способа получения уравнения для цены игры, оно представляет собою уравнение в частных производных первого порядка относительно и называется основным уравнением. Затем следует теорема, утверждающая, что соответствующий основному уравнению интеграл действительно является ценой игры; теорема доказывается, и ее применение иллюстрируется примерами.

Последние разделы посвящены построению стандартного метода нахождения решения в малом, во всех тех случаях, когда отсутствуют сингулярные многообразия.

4.1. ПРИРОДА РЕШЕНИЯ

Когда конкретная дифференциальная игра решена, результат должен содержать следующие функции.

1. Цена игры: функция определенная на

2. Оптимальные стратегии: вектор-функции определенные на Они не обязательно единственны. Когда они не единственны, нас либо может интересовать получение множества всех оптимальных стратегий, либо нас может удовлетворить нахождение всего лишь одной их пары

3. Оптимальные траектории: если оптимальные стратегии единственны или по каким-то причинам мы остановим свой выбор на определенной их паре, то мы получим множество траекторий, которые описывает х, перемещаясь в соответствии с этими стратегиями. Эти траектории должны заполнять и каждая из них должна оканчиваться на

Нам встретятся случаи, когда не все из перечисленных функций существуют, по крайней мере не во всем Простой иллюстрацией тому является рассматриваемый ниже пример 7.8.1. Встречаются и более тонкие случаи, некоторые из них в качестве противоречащих примеров описаны в работах по вариационному исчислению (которое можно рассматривать как изучение игр одного игрока). В таких случаях мы рассматриваем

решение просто как некоторую инфоомацию об игре, получаемую в таком количестве, как это позволяют обстоятельства

Мы предпочитаем не ограничивать понятия решения слишком жестким определением Даже тогда, когда во всем или части его какие-то из перечисленных функций не существуют или налицо другие патологические моменты, мы рассматриваем игру как решенную, если эти особенности поняты и объяснены Само по себе несуществование решения не является бедствием; обычно оно допускает простое и ясное истолкование.

Даже в полностью непатологических случаях, когда все эти три функции везде существуют, иногда нет необходимости определять их все Например, если известна то оптимальные стратегии, как мы скоро увидим, можно получить как функции фазовых координат и частных производных от Если известны оптимальные стратегии, то оптимальные траектории следуют из интегрирования уравнений движения; если V — интеграл, то его можно найти в процессе решения этой системы.

Нам будут встречаться случаи, когда процессы подобного рода, будучи в принципе совершенно стандартными, при явном вычислении оказываются чрезвычайно утомительными. Стоит ли идти на преодоление таких трудностей, часто зависит от того, с какой целью рассматривается та или иная задача Если, как нередко встречается в этой книге, целью является иллюстрация некоторых идей, то часто эти трудоемкие вычисления все равно не дают необходимой ясности. Иногда даже в практических задачах нужными для приложений оказываются лишь некоторые аспекты решения.

С этой точки зрения следующие примеры дают много поводов для размышлений о том, насколько детально надо изучать решение с учетом затрат труда на это изучение.

Чтобы придать рассуждениям логическую строгость, достаточно было бы выразить решение в виде К-стратегии. Однако оставим пока в запасе этот вспомогательный подход, который позволяет в случае необходимости получить строгое решение и доказать его законность. Как именно это делается, будет продемонстрировано в этой главе позднее. В дальнейшем мы будем допускать такую возможность; однако чаще будем рассматривать стратегии, а не тактики, и в основном направим свои усилия на интегрирование уравнений движения.

Напоминаем, что данные об игре должны включать в себя начальную точку в и что мы используем термин «игра» для обозначения множества ее траекторий. Когда мы говорим о решении игры в некотором подмножестве мы тем самым имеем в виду все траектории, начинающиеся в любой точке из

Процесс решения игры распадается на две фазы В основном оказывается, что область подразделяется на некоторое число областей поверхностями, которые позже буду названы сингулярными. В каждой такой области решение будет гладким, так что V принадлежит классу Это означает, что поверхности постоянных значений V имеют непрерывно меняющиеся касательные плоскости, аналитически это означает, что для малых значений вектора справедливо равенство

где функции непрерывны. Аналогично оптимальные стратегии будут непрерывными функциями в (за исключением лишь, может быть, сингулярных поверхностей), если они единственны, будем обозначать их в противном случае мы часто будем предполагать, что такие непрерывные функции можно выбрать.

На сингулярных поверхностях могут возникать особенности различного вида. Это обстоятельство делает неприменимой систематическую теорию, так что приходится исследовать каждый тип отдельно. Попытка создать упорядоченную классифика ционную схему приведена в § 6.1, но изложенные результаты представляют собой немногим более чем каталог некоторых возможных случаев. Мы отвели много места теории, относящейся к сингулярным поверхностям, причем для каждого типа их теория различна.

Иногда мы будем использовать термин в малом, говоря о гладких частях решения, находящихся между сингулярными поверхностями. При выявлении сингулярных поверхностей и объединении гладких частей решения в полное решение будем употреблять термин в большом

Мы увидим, что техника нахождения решения в малом ничем не отличается от техники дифференциальных уравнений. Эта фаза в настоящей проблеме играет роль, аналогичную роли уравнений Эйлера в вариационном исчислении. Но эту технику пришлось несколько обновить. Действительно, хотя наши методы годны для решения классических задач, если последние рассматривать как игры одного игрока (второй игрок пассивен, т. е. имеет нулевую вектограмму), однако в игровых задачах

мы не можем искать просто экстремаль, а должны с самою начала различать минимум и максимум — как же иначе можно рассматривать игры?

Но не все типы сингулярных поверхностей чужды классическому вариационному исчислению. Однако до тех пор, пока не была принята настоящая точка зрения теории дифференциальных игр, не было побуждающих мотивов для их классификации, и в классических исследованиях даже не упоминалось о наличии этих особенностей Здесь мы не только рассматриваем различные типы сингулярных поверхностей, по на примере теории игр доказываем их принципиальную важность

Трудно сделать категорическое утверждение об относительной важности фаз «в большом» и «в малом» В некоторых задачах решения между сингулярными поверхностями просты, зато сами эти поверхности многочисленны, разнообразны и трудны для отыскания В других интегрирование приводит к сложному семейству траекторий, которые заполняют с небольшими особенностями в поведении или даже совсем без особенностей Игра «шофер-убийца» относится к первой из этих категорий задач, а в следующей главе (§ 5 5) рассмотрена задача «изо тропные ракеты», которая является вариантом той же самой проблемы, но ее можно отнести ко второй категории. Вскоре мы сможем прийти к общему выводу о том, что линейные вектограммы (управления входят линейно в правые части уравнений движения и в приводят к большому числу сингулярных поверхностей; некоторые типы их могут встречаться только в таких линейных случаях