6.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ ПРОСТЫХ ИГР ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

Простая задача о перехватчике и бомбардировщике, описанная в первой главе (пример 1.9.2), может служить иллюстрацией некоторых идей, которые здесь будут несколько обобщены Будем рассматривать игры преследования, полагая для простоты, что они происходят на плоскости и игроки обладают простым движением.

Назовем множество точек, которых может достичь, не будучи захваченным независимо от действий последнего, зоной безопасности, а поверхность, ограничивающую это множество, — границей зоны безопасности.

Для многих случаев игр преследования очевидно, что при оптимальном развитии игры захват происходит в точке принадлежащей границе зоны безопасности и обеспечивающей наибольшее значение платы для Оптимальные стратегии таковы, что оба игрока будут достигать за минимальное время, и здесь происходит захват.

Иллюстрацией этих понятий может служить уже рассмотренный пример 1 9.2, где проведенный через середину отрезка перпендикуляр является границей зоны безопасности.

Нам хочется сделать некоторые замечания относительно различных типов границ зоны безопасности. Если отношение скоростей равно а захват определен как совпадение точек то граница зоны безопасности есть множество таких точек для которых выполняется условие

При таким множеством является хорошо известная окружность Апполония (рис. 6.7.1). Если то находится внутри этой окружности, снаружи. Отметим следующий легко доказуемый факт.

Если движутся прямолинейно к точке на окружности Апполония, то новая такая окружность, соответствующая какой-либо паре промежуточных положений касается первоначальной в точке

Если теперь областью захвата считать круг радиуса I, то граница зоны безопасности становится эллипсом

При множество точек превращается в ветвь гиперболы.

Рис. 6.7.1.

Рис. 6.7.2.

Стоит отметить некоторые легко доказуемые геометрические свойства этого множества (см. рис. 6.7.2).

Гипербола проходит через середину отрезка, соединяющего с ближайшей к нему точкой на Асимптоты проходят через середину отрезка и перпендикулярны к касательным, проведенным из к Точки являются фокусами гиперболы.

Задача 6.7.1. Доказать сформулированное в сноске на стр. 183 утверждение: если оба перемещаются простым движением, но скорость превышает скорость то не может предотвратить достижение противником прикрываемого объекта путем захвата Захват здесь означает выполнение условия