ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Книга написана с учетом опыта чтения лекций на физическом факультете, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. От других руководств по линейной алгебре ее отличает более полное изложение теории линейных операторов, наличие специальной главы, посвященной итерационным методам решения линейных систем, наличие доказательства сходимости метода вращении для решения полной проблемы собственных значений, изложение метода регуляризации А. И. Тихонова для отыскания нормального решения линейной системы.
Четвертое издание перепечатывается с текста третьего издания, в котором исправлено несколько замеченных опечаток.
Июнь 1998 г. В. А. Ильин
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга возникла в результате переработки курса лекций, читавшихся авторами в Московском государственном университете.
Отметим некоторые особенности изложения.
Изложение начинается с изучения матриц и определителей, причем определитель n-го порядка вводится по индукции через определитель (n-1)-го порядка с помощью формулы разложения по первой строке. При этом легко доказывается теорема о разложении по любой строке и по любому столбцу (схема доказательства этой теоремы оказывается совершенно аналогичной схеме доказательства теоремы Лапласа). Традиционное определение детерминанта (определителя) непосредственно через его элементы является простым следствием данного в этой книге определения.
Изучению линейных систем предшествует теория линейных пространств и преобразований базисов и координат векторов в таких пространствах. При изучении линейных систем мы сразу же знакомим читателя не только с обычной, но и с матричной формой записи системы и вывода формул Крамера.
Изучение вещественных и комплексных евклидовых пространств завершается доказательством теоремы А. Н. Тихонова об отыскании нормального решения линейной системы.
При изучении линейных операторов излагаются все основные аспекты спектральной теории в конечномерных евклидовых пространствах. Теорема о приведении матрицы к жордановой форме доказывается с помощью предложенного А. Ф. Филипповым короткого метода, основанного на индукции.
Книга содержит специальную главу, посвященную итерационным методам, в которой с единой точки зрения рассматриваются важнейшие итерационные методы решения линейных систем (явный и неявный методы простой итерации, метод Зейделя, метод верхней релаксации) и устанавливаются условия сходимости этих методов. Для общего неявного метода простой итерации выясняются установленные А. А. Самарским условия получения наиболее быстрой сходимости. Приводится доказательство сходимости метода вращении для решения полной проблемы собственных значений.
Изложение теории билинейных и квадратичных форм завершается приведением к каноническому виду уравнений гиперповерхностей второго порядка в n-мерном пространстве.
При изучении тензоров, наряду с традиционным материалом, излагается важная для приложений тензорная форма записи основных операций векторной алгебры. Здесь же даются понятия псевдоевклидова пространства, галилеевых координат и преобразования Лоренца.
Книга завершается изложением элементов теории групп и их представлений.
Следует отметить, что данная книга примыкает к «Аналитической геометрии», хотя может читаться и независимо от нее.
Авторы приносят глубокую благодарность А. Н. Тихонову и А. Г. Свешникову за большое количество ценных замечаний, Ш. А. Алимову, вклад которого в эту книгу далеко вышел за рамки обычного редактирования, Л. Д. Кудрявцеву, С. А. Ломову и особенно А. А. Самарскому за весьма полезные критические замечания и ценные советы, Е. С. Николаеву, Д. Д. Соколову и Е. В. Шикину за большую помощь при написании некоторых разделов этой книги.
Январь 1974 г.
В. Ильин, Э. Позняк
