3. Приводимые и неприводимые представления.

В этом пункте мы обсудим вопрос о том, при каких условиях данное представ, ление заданное в пространстве индуцирует в год. пространстве Е этого пространства представление

Этот вопрос тесно связан с вопросом об описании данного представления с помощью более простых представлений, которые имеют меньшую размерность, чем заданное.

С решением поставленного вопроса тесно связано понятие инвариантного подпространства линейного преобразования (линейного оператора).

Напомним, что подпространство Е называется инвариантным подпространством линейного оператора А, если для каждого элемента х из Е элемент принадлежит Е (см § 3 гл. 5). Иными словами, подпространство Е инвариантно, если действие оператора А на элементы этого подпространства не выводит их из этого подпространства. Отметим, что само пространство и нулевой элемент пространства являются инвариантными подпространствами любого линейного оператора.

Можно ввести понятие инвариантного подпространства для представления Именно, подпространство называется инвариантным для представления если оно инвариантно для всякого оператора из

Очевидно, что на инвариантном подпространстве представления индуцируется некоторое представление Следует отметить, что представление не сводится к представлению если инвариантное подпространство Е не совпадает с

Поясним теперь понятие приводимого представления. Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления имеют вид

где соответственно обозначают матрицы Легко проверить, что произведение матриц вида (9.30) подчиняется закону

т. е. произведение матриц вида (9.30) есть матрица вида (9.30). Более того, при умножении матриц этого вида изолированно перемножаются матрицы и матрицы

Таким образом, мы видим, что матрица образует двумерное представление рассматриваемой группы, а матрица образует одномерное представление этой же группы.

В таких случаях говорят, что представление приводимо.

Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах порядка операторов представления имеют вид

где — квадратные матрицы, вообще говоря, разных порядков, то ясно, что матрицы образуют представления, сумма размерностей которых равна

В этом случае представление называется вполне приводимым. Отметим, что операторы, матрицы которых имеют вид (9.31), фактически редуцируются к двум операторам, действующим независимо в двух инвариантных подпространствах.

Заметим также, что представление, индуцируемое на инвариантном подпространстве данным представлением называется частью представления

В заключение этого пункта сформулируем понятие неприводимого представления.

Представление группы называется неприводимым, если у этого представления существуют лишь два инвариантных подпространства: и О.

В противном случае представление называется приводимым.

Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые.