2. Новое определение ранга матрицы.

В § 3 главы 1 мы определили ранг произвольной матрицы А как порядок ее базисного минора, т. е. как число удовлетворяющее требованию существования у матрицы А отличного от нуля минора порядка и отсутствия у этой матрицы отличных от нуля миноров порядка, большего

В этом пункте мы убедимся, что ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.

Отсюда будет следовать новое определение ранга матрицы как максимального числа линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы

Проведем все рассуждения для строк (для столбцов они аналогичны). Рассмотрим в линейном пространстве (введенном в примере 3 п. 1 § 1) линейную оболочку базисных строк произвольной содержащей строк и столбцов матрицы А и предположим, что число базисных строк равно Из теоремы 1.6 о базисном миноре вытекает, что любая строка матрицы А является элементом указанной линейной оболочки, а из линейной независимости базисных строк и из теоремы 2.8 вытекает, что размерность указанной линейной оболочки равна Стало быть, любые элементов указанной линейной оболочки (и, в частности, любые ) строк матрицы А) линейно зависимы. А это и означает, что число представляет собой максимальное число линейно независимых строк.