Теорема 2.4. При сложении двух любых элементов линейного пространства
их координаты (относительно любого базиса пространства
складываются, при умножении произвольного элемента на любое число X все координаты этого элемента умножаются на X.
Доказательство. Пусть
— произвольный базис пространства
— любые два элемента этого пространства.
Тогда в силу аксиом
В силу единственности разложения по базису теорема доказана.
Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств.
Из аналитической геометрии известно, что любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве
всех свободных векторов (это пространство рассмотрено в примере 1 п. 1 § 1).
Заметим далее, что совокупность
элементов (2.5), рассмотренных в конце
, образует базис в линейном пространстве
введенном в примере 3 п. 1 § 1.
В самом деле, в конце предыдущего пункта доказано, что элементы (2.5) линейно независимы и что любой элемент
пространства
представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.5).
Убедимся, наконец, что базис линейного пространства
введенного в примере
, состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой ненулевой элемент этого пространства (т. е. любое положительное вещественное число
не равное 1). Достаточно доказать, что для любого положительного вещественного числа х найдется вещественное число X такое, что
. Но это очевидно: достаточно взять