2. Базис и координаты.

Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство

Определение. Совокупность линейно независимых элементов пространства называется базисом этого пространства, если для каждого элемента х пространства найдутся вещественные числа такие, что справедливо равенство

При этом равенство (2.6) называется разложением элементахпо базису , а числа называются координатами элемента х (относительно базиса ).

Докажем, что каждый элемент х линейного пространства моокет быть разложен по базису единственным способом, т. е. координаты каждого элемента х относительно базиса ей определяются однозначно.

Допустим, что для некоторого элемента х наряду с разложением (2.6) справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису

Почленное вычитание равенств (2.6) и (2.7) приводит нас к соотношению

В силу линейной независимости базисных элементов соотношение (2.8) приводит к равенствам Единственность разложения по базису доказана. Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами — координатами этих элементов. Именно справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.4. При сложении двух любых элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса пространства складываются, при умножении произвольного элемента на любое число X все координаты этого элемента умножаются на X.

Доказательство. Пусть — произвольный базис пространства — любые два элемента этого пространства.

Тогда в силу аксиом

В силу единственности разложения по базису теорема доказана.

Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств.

Из аналитической геометрии известно, что любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве всех свободных векторов (это пространство рассмотрено в примере 1 п. 1 § 1).

Заметим далее, что совокупность элементов (2.5), рассмотренных в конце , образует базис в линейном пространстве введенном в примере 3 п. 1 § 1.

В самом деле, в конце предыдущего пункта доказано, что элементы (2.5) линейно независимы и что любой элемент пространства представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.5).

Убедимся, наконец, что базис линейного пространства введенного в примере , состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой ненулевой элемент этого пространства (т. е. любое положительное вещественное число не равное 1). Достаточно доказать, что для любого положительного вещественного числа х найдется вещественное число X такое, что . Но это очевидно: достаточно взять