8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Классификация центральных гиперповерхностей.

Выводы, сделанные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о классификации всех центральных гиперповерхностей второго порядка. Решение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат в центр гиперповерхности (7.66) мы приведем ее уравнение к виду (7.96). После этого произведем стандартное упрощение уравнения (7.96). В результате, очевидно, мы получим, согласно (7.98), следующее уравнение центральной поверхности второго порядка:

в котором X — собственные числа матрицы А квадратичной формы в уравнении (7.62), а — координаты точки лев окончательном ортонормированном базисе

Отметим, во-первых, что все собственные числа отличны от нуля.

Действительно, подсчитывая для уравнения (7.99), получим а так как для центральной поверхности то, очевидно, что все .

Договоримся далее все положительные собственные числа матрицы А нумеровать первыми индексами, а отрицательные — последующими. Таким образом, найдется такой номер что

Введем теперь следующие обозначения:

если , то положим

если то положим

Тогда очевидно, уравнение (7.99) может быть переписано следующим образом (при этом мы заменим обозначение координат на

Уравнение (7.102) называется каноническим уравнением центральной гиперповеохности второго порядка.

Величины называются полуосями центральной гиперповерхности второго порядка. Они могут быть вычислены по формулам (7.100) и (7.101).

С помощью канонического уравнения (7.102) дадим следующую классификацию центральных гиперповерхностей,

В этом случае гиперповерхность называется -мерным эллипсоидом.

Каноническое уравнение такого эллипсоида обычно записывают в виде

Если то -мерный эллипсоид представляет собой сферу радиуса в -мерном пространстве.

Замечание 1. В случае мы также получаем -мерный эллипсоид. Очевидно, в этом случае уравнение (7.102) может быть записано в виде (7.103).

Гиперповерхность является мнимой и называется мнимым эллипсоидом.

Замечание 2. Очевидно, в случае мы также получаем мнимый эллипсоид.

. Центральные гиперповерхности называются в этом случае гиперболоидами.

Геометрические характеристики гиперболоида зависят от соотношении чисел и значения

Центральные гиперповерхности называются в этом случае вырожденными. Среди вырожденных гиперповерхностей отметим так называемый вырожденный эллипсоид, отвечающий значениям