2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора.

Метрический тензор используется для операции поднятия и опускания индексов у координат данного тензора А.

Эта операция заключается в следующем.

Пусть А — тензор типа с координатами Для примера покажем, каким образом проводится операция поднятия индекса Свернем тензоры и А по верхнему индексу первого тензора и по нижнему индекусу второго тензора, т. е. построим тензор с координатами и у координат полученного тензора индекс обозначим через Затем эти координаты обозначим символами Таким образом,

Замечание 1. Так как порядок расположения индексов у координат тензора определяет «нумерацию» его координат, то, вообще говоря, при поднятии индекса нужно отмечать место среди верхних индексов, на которое будет поднят данный нижний

индекс. Иногда в ряду нижних индексов нужно отметить место поднимаемого нижнего индекса Это делается с помощью точки, которая ставится на место поднятого индекса. Поэтому координаты тензора в левой части (8.48) следовало бы записать следующим образом:

К примеру, если первый нижний индекс поднимается на второе место среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор с координатами

Замечание 2. Операция опускания индекса с помощью метрического тензора определяется аналогично Например, координаты тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса на последнее место в ряду нижних индексов, имеют следующий вид:

Замечание 3. Операцию поднятия или опускания индекса можно применять несколько раз, причем каждый раз по отношению к различным индексам данного тензора.

Рассмотрим примеры поднятия и опускания индексов у тензоров

Пусть х — вектор, — соответственно его ковариантные и контравариантные координаты (напомним, что вектор представляет собой тензор ранга 1).

Поднимем у координат индекс с помощью метрического тензора . В результате получим тензор с координатами . Так как то

Согласно . Поэтому .

Таким образом, контравариантные координаты вектора х можно получить как результат операции поднятия индекса у ковариантных координат этого вектора.

Ковариантные координаты могут быть получены как результат операции опускания индекса у контравариантных координат

Выясним результат двукратного применения операции поднятия индекса у ковариантных координат метрического тензора с помощью контравариантных координат этого же тензора. Иными словами, выясним, что представляет собой тензор с координатами

Используя симметрию тензора по нижним индексам и соотношение (8.47), найдем . Подставляя найденное выражение для и используя свойства символа Кронекера получим

Совершенно аналогично можно убедиться в справедливости равенства

Последние две формулы еще раз подчеркивают, что естественно рассматривать как ковариантные и контравариантные координаты метрического тензора