2. Метод Якоби.

При некоторых дополнительных предположениях о квадратичной форме можно указать явные формулы перехода от данного базиса к каноническому базису и формулы для канонических коэффициентов

Предварительно мы введем понятие треугольного преобразования базисных векторов.

Преобразование базисных векторов называется треугольным, если оно имеет следующий вид:

Замечание. Так как определитель матрицы треугольного преобразования (7.19) отличен от нуля (равен 1), то векторы образуют базис.

Введем в рассмотрение угловые миноры матрицы коэффициентов формы в базисе обозначив их символами

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.4. Пусть миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда существует единственное треугольное преобразование базисных векторов с помощью которого форму можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Напомним, что коэффициенты формы в базисе вычисляются по формулам

Если форма в базисе имеет канонический вид, то при Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощью треугольного преобразования (7.19) такой базис котором будут выполняться соотношения

(при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование единственно).

Если обратиться к формулам (7.19) для то, используя линейное свойство квадратичной формы по каждому аргументу, легко заметить, что соотношения (7.21) будут выполнены, если будут выполнены соотношения

Запишем формулы (7.22) в развернутом виде. Для этого подставим в левые части этих формул выражение

для из соотношений (7.19). Используя далее свойство линейности по каждому аргументу и обозначение получим в результате следующую линейную систему уравнений для неизвестных коэффициентов

Определитель этой системы равен . По условию . Следовательно, система (7.24) имеет единственное решение. Таким

образом, можно построить единственное треугольное преобразование базисных векторов, с помощью которого форма приводится к каноническому виду. Теорема доказана.

Приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициенты искомого треугольного преобразования, и формулы для канонических коэффициентов

Обозначим символом минор матрицы расположенный на пересечении строк этой матрицы с номерами и столбцов с номерами Тогда, обращаясь к системе (7.24) и используя формулы Крамера, получим следующее выражение для а:

Займемся вычислением канонических коэффициентов . Так как то из выражения (7.23) для и формул (7.22) получаем

Подставляя выражение (7.25) для в правую часть последнего соотношения, найдем

Числитель последнего соотношения представляет собой сумму произведений элементов строки с номером в определителе на алгебраические дополнения этих элементов в указанном определителе. Следовательно, этот числитель равен . Поэтому

Так как то отсюда и из (7.26) получаем следующие формулы для канонических коэффициентов: