ГЛАВА 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.

§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства

1. Определение вещественного евклидова пространства.

Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом

II. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

(переместительное свойство или симметрия).

(распределительное свойство)

для любого вещественного X.

если х — ненулевой элемент;

если X — нулевой элемент.

Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов,

но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).

Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным.

Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.

Пример 1. Рассмотрим линейное пространство всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом Стало быть, пространство с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.

Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство всех функций определенных и непрерывных на сегменте а с Скалярное произведение двух таких функций определим как интеграл (в пределах от а до от произведения этих функций

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом . В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте (т. е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства). Таким образом, пространство с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство.

Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает -мерное линейное пространство упорядоченных совокупностей

купностей вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов которого определяется равенством

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется (достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:

наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии

Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом

Пример 4. В том же самом линейном пространстве введем скалярное произведение любых двух элементов не соотношением (4.2), а другим более общим способом.

Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка

Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно переменных

Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей

Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных одновременно не равных нулю. Так как при квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии

Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям:

1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).

2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т. е. удовлетворяла условию для всех

С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям Г и 2°, определим скалярное произведение двух любых элементов пространства соотношением

Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение является положительно определенной.

Таким образом, пространство со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством.

Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство рассмотренное в примере 3.