4. Метод Зейделя.

Представим симметричную матрицу (6.2) в виде суммы трех матриц , где — диагональная матрица (6.23), и соответственно строго левая и строго правая матрицы, имеющие вид

и удовлетворяющие условию

Метод Зейделя получается из общего неявного метода простой итерации в том частном случае, когда стационарный параметр равен единице, а матрица В равна сумме Таким образом, последовательные итерации в методе Зейделя определяются соотношением

Докажем, что метод Зейделя сходится для любой симметричной и положительно определенной матрицы А.

В силу теоремы 6.2 достаточно доказать, что для любой такой матрицы А выполнено условие

Для доказательства (6.27) заметим, что для любого вектора

Таким образом, для доказательства неравенства (6.27) достаточно убедиться в положительной определенности матрицы но она сразу вытекает из того, что у положительно определенной и симметричной матрицы А все элементы, лежащие на главной диагонали, являются положительными . Сходимость метода Зейделя доказана.