ГЛАВА 8. ТЕНЗОРЫ

В этой главе рассматриваются важные объекты, называемые тензорами и характеризующиеся в каждом базисе совокупностью координат, специальным образом преобразующихся при переходе от одного базиса к другому. Тензоры широко используются в геометрии, физике и механике Понятие тензора возникает при изучении различных анизотропных явлений (например, при изучении распределения скоростей распространения света в кристалле в зависимости от направления его распространения)

§ 1. Преобразование базисов и координат

В данном параграфе, носящем вспомогательный характер, мы рассмотрим законы преобразования координат в произвольном вещественном евклидовом пространстве Возникающие при этом наводящие соображения делают более прозрачным понятие тензора, вводимого в следующем параграфе.

1. Определители Грама.

В этом пункте мы укажем способ, с помощью которого можно выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов в евклидовом пространстве.

Введем для этого так называемый определитель Грама указанной системы векторов.

Определителем Грама системы векторов называется следующий определитель:

Справедливо утверждение

Теорема 8.1. Для того чтобы система векторов евклидова пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама (8.1) этой системы был равен нулю.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы Тогда один из них,

например является линейной комбинацией остальных.

Умножая написанное соотношение скалярно на , мы получим, что последняя строка определителя Грама (8.1) является линейной комбинацией первых строк. По теореме 1.7 этот определитель равен нулю Необходимость условия доказана.

2) Достаточность. Предположим, что определитель Грама (8.1) равен нулю. Тогда его столбцы линейно зависимы, т. е. существуют не все равные нулю числа такие, что для к выполняются соотношения

Переписывая эти соотношения в виде

убеждаемся, что вектор ортогонален всем векторам , т. е. ортогонален линейной оболочке этих векторов. Так как этот вектор принадлежит то он равен нулю. Поскольку не все равны нулю, то это означает, что векторы линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствие. Если векторы линейно независимы, то определитель Грама этих векторов отличен от нуля.

Докажем, что в указанном случае определитель Грама положителен. Пусть — линейная оболочка векторов . Очевидно, — базис в Рассмотрим билинейную симметричную форму представляющую собой скалярное произведение Соответствующая квадратичная форма будет, очевидно, знакоопределенной, и поэтому, согласно теореме 7.6 (критерию Сильвестра), определитель ее матрицы в базисе положителен. Но этот определитель и представляет собой определитель Грама (8.1) системы ибо