4. Характеры.

В теории представлений групп и в особенности в теории представлений конечных групп полезную роль играют инварианты линейных преобразований, образующих представление. Важность инвариантов ясна еще и потому, что они не зависят от выбора базиса представления и поэтому в определенном смысле характеризуют представление.

Пусть — -мерное представление группы и — матрица оператора, отвечающего элементу из

Характером элемента в представлении называется число

Таким образом, характер элемента есть след матрицы оператора

Так как след матрицы линейного оператора представляет собой инвариант (см. п. 3 § 2 гл. 5), то характер любого элемента

не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом.

Итак, каждому элементу представления отвечает число — характер этого элемента.

Поскольку у различных элементов могут быть одинаковые характеры, то следует выяснить вопрос о том, каким элементам группы отвечают одинаковые характеры. Для решения этого вопроса введем понятие сопряженных элементов и классов сопряженных элементов в данной группе

Элемент называется сопряженным элементу а если существует такой элемент и что

Отметим следующие свойства сопряженных элементов:

1) Каждый элемент а сопряжен самому себе. Действительно, если — единица группы, то, очевидно, справедливо соотношение которое и означает, что а — элемент, сопряженный а.

2) Если элемент сопряокен элементу а, то элемент а сопряжен элементу . Это свойство сразу же вытекает из (9.32). Действительно, умножая обе части (9.32) слева на и справа на и, получим Замечая, что обратным элементом для элемента является элемент и, мы убедимся в справедливости сформулированного свойства.

3) Если — сопряженный элемент для а и с — сопряженный элемент для то с — сопряженный элемент для а

Действительно, так как то, очевидно,

Так как обратным элементом для элемента является элемент то из (9.33) следует, что элемент с сопряжен элементу а.

Объединим в один класс все те элементы группы, которые сопряжены данному элементу а. Таким образом, согласно свойству 3), каждый элемент класса сопряжен любому элементу этого класса. Очевидно, два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Вернемся теперь к представлениям групп.

Пусть а и — сопряженные элементы, т. е. справедливо соотношение (9.32):

Обратимся к операторам . Согласно определению представления группы оператор является обратным для оператора , т. е.

Обращаясь опять к определению представления, получим, согласно (9.32), соотношение

Перейдем теперь к матрицам операторов, фигурирующих в последнем соотношении. Мы видим, что матрицу оператора

можно рассматривать как матрицу оператора при переходе к новому базису с матрицей перехода гл. 5). Поскольку при таких преобразованиях след матрицы инвариантен и по определению равен характеру элемента, мы можем заключить, что

Итак, характеры всех элементов, принадлежащих одному классу сопряженных элементов, равны друг другу.

Очевидно также, что характеры элементов для эквивалентных представлений совпадают.

Понятие характера в теории представлений используется обычно следующим образом.

Пусть данная группа может быть разбита на конечное число различных классов сопряженных элементов Тогда каждому элементу класса в данном представлении (и в любом эквивалентном ему представлении) отвечает один и тот же характер Поэтому представление можно описать с помощью набора характеров который можно рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве размерности Таким образом, различным представлениям будут отвечать различные векторы.

Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представлений групп.