2. Теорема о базисном мнноре.

Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу

Минором порядка матрицы А будем называть определитель порядка с элементами, лежащими на пересечении

любых к строк и любых к столбцов матрицы А. (Конечно, к не превосходит наименьшее из чисел

Предположим, что хотя бы один из элементов матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое целое положительное число что будут выполнены следующие два условия: 1) у матрицы А имеется минор порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор и более высокого порядка (если таковые существуют), равен нулю.

Число удовлетворяющее требованиям назовем рангом матрицы . Тот минор порядка, который отличен от нуля, назовем базисным минором (конечно, у матрицы А может быть несколько миноров порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными строками и базисными столбцами.

Докажем следующую основную теорему.

Теорема 1.6 (теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Доказательство. Все рассуждения проведем для строк.

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы.

Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Так как при произвольных переменах строк (или столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то мы, не ограничивая общности, можем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы т. е. расположен на первых строках и первых столбцах. Пусть — любое число от 1 до n, а k — любое члсло от 1 до .

Убедимся в том, что определитель порядка

равен нулю. Если или то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки.

Если же оба числа и превосходят то (1.48) является минором матрицы А порядка а всякий такой минор равен нулю (по определению базисного минора). Итак, определитель (1.48) равен нулю при всех от 1 до и всех А от 1 до .

Но тогда, разложив этот определитель по последнему столбцу и обозначив не зависящие от номера алгебраические дополнения элементов этого столбца символами мы получим, что

(для всех ). Учитывая, что в последних равенствах алгебраическое дополнение совпадает с заведомо отличным от нуля базисным минором, мы можем поделить каждое из этих равенств на Но тогда, вводя обозначения

мы получим, что (для всех а это и означает, что строка является линейной комбинацией первых (базисных) строк. Теорема доказана.