9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей.
Пусть гиперповерхность
заданная уравнением (7.62), не является центральной, т. е.
Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В результате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем
, используя (7.98) (это возможно, так как
— инвариант). Получим, учитывая (7.104),
Таким образом, по крайней мере одно собственное значение матрицы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные значения равны нулю, ибо иначе квадратичная форма
была бы тождественно равной нулю, мы же предполагаем (см. п. 1 § 1 этой главы), что эта форма ненулевая.
Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерацию базисных векторов, чтобы первым
базисным векторам
отвечали все ненулевые собственные значения
(отметим, что
).
Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом:
(здесь
; кроме того, мы специально выделили первые
слагаемых второй суммы в уравнении (7.98)). Проведем теперь следующие преобразования.
Для каждого номера
объединим слагаемые с этим номером из первой и второй суммы в (7.105) и затем проделаем следующие преобразования (при этом мы учитываем, что
Очевидно, после этих преобразований (7.105) запишется следующим образом:
где постоянная с определяется равенством
Осуществим теперь параллельный перенос по формулам
В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение
причем с определяется по формуле (7.107).
2°. Будем искать теперь такое преобразование ортонормированного базиса
при котором первые
базисных векторов
не меняются, за счет же изменения базисных векторов
попытаемся преобразовать слагаемое
к виду
где
координата в новом базисе. Отметим, что при такого вида преобразованиях свободный член с не меняется.
Заметим, во-первых, что если все коэффициенты
в (7.108) равны нулю, то цель преобразования
достигнута — слагаемое
имеет вид
где
Итак, будем считать, что по крайней мере один из коэффициентов
в сумме
отличен от нуля. Тогда мы можем рассматривать эту сумму как некоторую линейную форму
заданную в подпространстве
которое представляет собрй линейную оболочку векторов
Согласно лемме п. 1 § 4 гл. 5 эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде
где
некоторый вектор подпространства
. Если мы теперь в подпространстве
направим единичный вектор
по вектору А, так что
а векторы
выберем так, чтобы система
была базисом в
то, очевидно, в этом базисе
поскольку
. Таким образом, выбирая в V базис описанным выше способом, мы преобразуем
к виду
Итак, можно указать такое преобразование базиса
в ортонормированный базис
(при этом преобразовании векторы
остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет вид (при этом мы заменим обозначение координат
на
Отметим, что в уравнении (7.109) не исключается случай
Уравнение (7.109) называется каноническим уравнением нецентральной гиперповерхности второго порядка.
С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следующую классификацию нецентральных гиперповерхностей. Возможны следующие случаи.
В этом случае последние два слагаемых в уравнении (7.109) запишем в виде
и сделаем параллельный перенос по направлению оси
на величину
Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат В результате каноническое уравнение (7.109) примет вид
Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение которых имеет вид (7.110), называются параболоидами.
В этом случае каноническое уравнение (7.109) перепишется так:
Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов
уравнение (7.111) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности
второго порядка Чтобы получить представление о гиперповерхности
во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности
поместить плоскость, параллельную плоскости
(линейная оболочка
векторов
Геометрическое месго таких плоскостей образует поверхность
Таким образом, поверхность
представ ляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью
определяемой уравнением (7.111), и образующими плоскостями, параллельными плоскости V"
Поступая так же, как и в случае Г, мы приведем каноническое уравнение (7.109) к виду
Очевидно, в подпространстве, представляющем собой линейную оболочку векторов
уравнение (7.112) опреде ляет параболоид
(см. случай Г). Чтобы получить представление о строении гиперповерхности
во всем пространстве, нужно в каждой точке
поместить плоскость, параллельною плоскости V" (линейная оболочка векторов
. Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность
Таким образом, поверхность
представляет собой параболоидальный цилиндр с направляющей поверхностью
определяемой уравнением (7.112), и образующими плоскостями, параллельнь
плоскости