9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей.

Пусть гиперповерхность заданная уравнением (7.62), не является центральной, т. е.

Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В результате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем , используя (7.98) (это возможно, так как — инвариант). Получим, учитывая (7.104),

Таким образом, по крайней мере одно собственное значение матрицы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные значения равны нулю, ибо иначе квадратичная форма была бы тождественно равной нулю, мы же предполагаем (см. п. 1 § 1 этой главы), что эта форма ненулевая.

Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерацию базисных векторов, чтобы первым базисным векторам отвечали все ненулевые собственные значения (отметим, что ).

Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом:

(здесь ; кроме того, мы специально выделили первые слагаемых второй суммы в уравнении (7.98)). Проведем теперь следующие преобразования.

Для каждого номера объединим слагаемые с этим номером из первой и второй суммы в (7.105) и затем проделаем следующие преобразования (при этом мы учитываем, что

Очевидно, после этих преобразований (7.105) запишется следующим образом:

где постоянная с определяется равенством

Осуществим теперь параллельный перенос по формулам

В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение

причем с определяется по формуле (7.107).

2°. Будем искать теперь такое преобразование ортонормированного базиса при котором первые базисных векторов не меняются, за счет же изменения базисных векторов попытаемся преобразовать слагаемое к виду где координата в новом базисе. Отметим, что при такого вида преобразованиях свободный член с не меняется.

Заметим, во-первых, что если все коэффициенты в (7.108) равны нулю, то цель преобразования достигнута — слагаемое имеет вид где

Итак, будем считать, что по крайней мере один из коэффициентов в сумме отличен от нуля. Тогда мы можем рассматривать эту сумму как некоторую линейную форму

заданную в подпространстве которое представляет собрй линейную оболочку векторов Согласно лемме п. 1 § 4 гл. 5 эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде где некоторый вектор подпространства . Если мы теперь в подпространстве направим единичный вектор по вектору А, так что а векторы выберем так, чтобы система была базисом в то, очевидно, в этом базисе поскольку . Таким образом, выбирая в V базис описанным выше способом, мы преобразуем к виду

Итак, можно указать такое преобразование базиса в ортонормированный базис (при этом преобразовании векторы остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет вид (при этом мы заменим обозначение координат на

Отметим, что в уравнении (7.109) не исключается случай

Уравнение (7.109) называется каноническим уравнением нецентральной гиперповерхности второго порядка.

С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следующую классификацию нецентральных гиперповерхностей. Возможны следующие случаи.

В этом случае последние два слагаемых в уравнении (7.109) запишем в виде и сделаем параллельный перенос по направлению оси на величину Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат В результате каноническое уравнение (7.109) примет вид

Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение которых имеет вид (7.110), называются параболоидами.

В этом случае каноническое уравнение (7.109) перепишется так:

Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов уравнение (7.111) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности второго порядка Чтобы получить представление о гиперповерхности во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности поместить плоскость, параллельную плоскости (линейная оболочка

векторов Геометрическое месго таких плоскостей образует поверхность Таким образом, поверхность представ ляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью определяемой уравнением (7.111), и образующими плоскостями, параллельными плоскости V"

Поступая так же, как и в случае Г, мы приведем каноническое уравнение (7.109) к виду

Очевидно, в подпространстве, представляющем собой линейную оболочку векторов уравнение (7.112) опреде ляет параболоид (см. случай Г). Чтобы получить представление о строении гиперповерхности во всем пространстве, нужно в каждой точке поместить плоскость, параллельною плоскости V" (линейная оболочка векторов . Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность Таким образом, поверхность представляет собой параболоидальный цилиндр с направляющей поверхностью определяемой уравнением (7.112), и образующими плоскостями, параллельнь плоскости