Главная > Линейная алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Классификация нецентральных гиперповерхностей.

Пусть гиперповерхность заданная уравнением (7.62), не является центральной, т. е.

Произведем стандартное упрощение уравнения (7.62). В результате это уравнение примет вид (7.98). Подсчитаем , используя (7.98) (это возможно, так как — инвариант). Получим, учитывая (7.104),

Таким образом, по крайней мере одно собственное значение матрицы А равно нулю. Подчеркнем, что не все собственные значения равны нулю, ибо иначе квадратичная форма была бы тождественно равной нулю, мы же предполагаем (см. п. 1 § 1 этой главы), что эта форма ненулевая.

Оставим в выражении (7.98) лишь те слагаемые в первой сумме, которые отвечают ненулевым собственным значениям, а затем произведем такую перенумерацию базисных векторов, чтобы первым базисным векторам отвечали все ненулевые собственные значения (отметим, что ).

Очевидно, после этого уравнение (7.98) может быть переписано следующим образом:

(здесь ; кроме того, мы специально выделили первые слагаемых второй суммы в уравнении (7.98)). Проведем теперь следующие преобразования.

Для каждого номера объединим слагаемые с этим номером из первой и второй суммы в (7.105) и затем проделаем следующие преобразования (при этом мы учитываем, что

Очевидно, после этих преобразований (7.105) запишется следующим образом:

где постоянная с определяется равенством

Осуществим теперь параллельный перенос по формулам

В результате уравнение (7.106) перейдет в уравнение

причем с определяется по формуле (7.107).

2°. Будем искать теперь такое преобразование ортонормированного базиса при котором первые базисных векторов не меняются, за счет же изменения базисных векторов попытаемся преобразовать слагаемое к виду где координата в новом базисе. Отметим, что при такого вида преобразованиях свободный член с не меняется.

Заметим, во-первых, что если все коэффициенты в (7.108) равны нулю, то цель преобразования достигнута — слагаемое имеет вид где

Итак, будем считать, что по крайней мере один из коэффициентов в сумме отличен от нуля. Тогда мы можем рассматривать эту сумму как некоторую линейную форму

заданную в подпространстве которое представляет собрй линейную оболочку векторов Согласно лемме п. 1 § 4 гл. 5 эта форма в указанном подпространстве может быть представлена в виде где некоторый вектор подпространства . Если мы теперь в подпространстве направим единичный вектор по вектору А, так что а векторы выберем так, чтобы система была базисом в то, очевидно, в этом базисе поскольку . Таким образом, выбирая в V базис описанным выше способом, мы преобразуем к виду

Итак, можно указать такое преобразование базиса в ортонормированный базис (при этом преобразовании векторы остаются неизменными), что уравнение (7.108) примет вид (при этом мы заменим обозначение координат на

Отметим, что в уравнении (7.109) не исключается случай

Уравнение (7.109) называется каноническим уравнением нецентральной гиперповерхности второго порядка.

С помощью канонического уравнения (7.109) дадим следующую классификацию нецентральных гиперповерхностей. Возможны следующие случаи.

В этом случае последние два слагаемых в уравнении (7.109) запишем в виде и сделаем параллельный перенос по направлению оси на величину Чтобы не осложнять запись, не будем при этом менять обозначение координат В результате каноническое уравнение (7.109) примет вид

Гиперповерхности второго порядка, каноническое уравнение которых имеет вид (7.110), называются параболоидами.

В этом случае каноническое уравнение (7.109) перепишется так:

Очевидно, в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов уравнение (7.111) представляет собой каноническое уравнение центральной поверхности второго порядка Чтобы получить представление о гиперповерхности во всем пространстве, нужно в каждой точке поверхности поместить плоскость, параллельную плоскости (линейная оболочка

векторов Геометрическое месго таких плоскостей образует поверхность Таким образом, поверхность представ ляет собой центральный цилиндр с направляющей поверхностью определяемой уравнением (7.111), и образующими плоскостями, параллельными плоскости V"

Поступая так же, как и в случае Г, мы приведем каноническое уравнение (7.109) к виду

Очевидно, в подпространстве, представляющем собой линейную оболочку векторов уравнение (7.112) опреде ляет параболоид (см. случай Г). Чтобы получить представление о строении гиперповерхности во всем пространстве, нужно в каждой точке поместить плоскость, параллельною плоскости V" (линейная оболочка векторов . Геометрическое место таких плоскостей образует поверхность Таким образом, поверхность представляет собой параболоидальный цилиндр с направляющей поверхностью определяемой уравнением (7.112), и образующими плоскостями, параллельнь плоскости

1
Оглавление
email@scask.ru