§ 2. Понятие тензора. Основные операции над тензорами

1. Понятие тензора.

В этом параграфе мы рассматриваем произвольное (не обязательно евклидово) вещественное n-мерное линейное пространство

Определение. Тензором А типа раз ковариантным и раз контравариантным) называется геометрический объект, который 1) в каждом базисе линейного пространства определяется координатами (индексы независимо принимают значения обладает тем свойством, что его координаты в базисе связаны с координатами в базисе соотношениями

в которых — элементы матрицы перехода от базиса к базису — элементы матрицы обратного перехода от

Число называется рангом тензора.

Замечание 1. Формулы (8.19) называют формулами преобразования координат тензора при преобразовании базиса.

Отметим, что ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуются по формулам (8.19) (при в первом случае и при во втором, см. § 1 этой главы). Поэтому вектор представляет собой тензор ранга 1 (1 раз ковариантный, либо 1 раз контравариантный — в зависимости от выбора типа координат этого вектора).

Отметим, что рассматривают также тензоры ранга 0. Это тензоры, имеющие лишь одну координату, причем эта координата не снабжена индексами и имеет одно и то же значение во всех системах координат Тензоры ранга 0 обычно называются инвариантами.

Замечание 2. Индексы называются ковариантными, — контравариантными. Наименование объясняется тем, что по каждому из упомянутых индексов преобразование координат тензора производится в полной аналогии с преобразованиями ковариантных и контравариантных координат вектора (см формулы (8.17) и (8.18)).

Для того чтобы определение тензора было корректным, нужно убедиться, что последовательные переходы от базиса к базису а затем от базиса к базису приводят к такому же преобразованию координат тензора, что и при непосредственном переходе от

Пусть — соответственно матрицы перехода от базиса к базису от базиса к и от базиса Так как при последовательных переходах матрицы преобразований перемножаются, то очевидны соотношения

После сделанных замечаний убедимся в корректности определения тензора Пусть - координаты тензора Л в базисах соответственно. По формулам (8.19), переходя последовательно от в; к а затем к получим

Подставляя в правую часть (8.22) выражения координат к из (8.21) и учитывая соотношения (8.20), получим

Таким образом, последовательные переходы от базиса к базису а затем к базису приводят к такому же преобразованию координат тензора, как и при непосредственном переходе от Корректность определения тензора установлена

Замечание 3. Любая система чисел может рассматриваться в данном базисе как координаты некоторого тензора А типа Чтобы убедиться в этом, определим в произвольном базисе с помощью формул (8.19) систему чисел к которые будем рассматривать как координаты искомого тензора А в базисе Очевидно, при переходе от базиса к базису эти координаты преобразуются по формулам (8 19) Как и выше, легко убедиться, что последовательные переходы от базиса к базису ей, а затем к базису приводят к такому же преобразованию полученных координат, как и при непосредственном переходе от Следовательно система чисел действительно представляет собой координаты некоторого тензора А типа