§ 4. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства

1. Прямое и обратное преобразование базисов.

Пусть — два произвольных базиса -мерного линейного пространства Как всякий элемент пространства каждый элемент может быть разложен по базису ей Предположим, что элементы

выражаются через с помощью формул

Это означает, что переход от первого базиса ко второму базису задается матрицей

Подчеркнем, что определитель А матрицы (2.26) заведомо отличен от нуля ибо в противном случае в силу теоремы 1.7 строки этой матрицы (а стало быть, и базисные элементы оказались бы линейно зависимыми.

Убедимся в том, что обратный переход от второго базиса к первому базису ей осуществляется с помощью матрицы В, обратной к матрице А.

Напомним, что матрица В, обратная к матрице А, введена в п. 7 § 2 гл. 1 и имеет вид

где через А обозначен определитель матрицы А, а через — алгебраическое дополнение элемента этого определителя.

Умножим уравнения (2.25) соответственно на алгебраические дополнения элементов столбца определителя А и после этого сложим эти уравнения. В результате получим (для любого номера равного

Учитывая, что сумма произведений элементов столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов столбца равна нулю при и равна определителю А при

получим из последнего равенства

откуда или подробнее

Формулы (2.28) и устанавливают, что обратный переход от базиса к базису осуществляется с помощью матрицы (2.27), обратной к матрице А. Эту обратную к А матрицу мы кратко будем обозначать символом