3. Основные операции над тензорами.

Основными операциями над тензорами называются операции сложения и вычитания тензоров, операция умножения тензора на число, операция умножения тензоров, операция свертывания тензоров, операция перестановки индексов, операции симметрирования и альтернирования тензоров.

Перейдем к определению этих операций.

1°. Сложение и вычитание тензоров. Операции сложения и вычитания определяются для тензоров одинакового типа

Пусть А и В — два тензора типа — одноименные координаты этих тензоров в базисе

Суммой (разностью А — В) этих тензоров называется тензор, имеющий в базисе координаты

Чтобы данное определение операций сложения и вычитания тензоров было корректным, необходимо проверить, преобразуются ли координаты суммы (разности) тензоров по закону (8 19) преобразования координат тензора. Для этого представим себе, что наряду с формулами (8.19) преобразования координат тензора А записаны аналогичные формулы преобразования координат тензора В. Тогда путем сложения (вычитания) таких двух формул преобразования координат тензоров А и В мы убедимся, что координаты суммы (разности) преобразуются по закону преобразования координат тензора.

2°. Умножение тензора на число. Пусть А — тензор типа имеющий в базисе координаты и а — произвольное вещественное число.

Произведением а А. тензора А на число а называется тензор, имеющий в базисе координаты .

То, что координаты преобразуются по тензорному закону, непосредственно усматривается из формул (8.19).

3°. Умножение тензоров. Операция умножения тензоров определяется для тензоров произвольного типа.

Пусть А — тензор типа имеющий в данном базисе координаты тензор типа имеющий в этом же базисе координаты

Для определения произведения тензоров А и В составляются всевозможные произведения координат тензора А на координаты тензора В. В каждом таком произведении индексы координат тензора В заменяются новыми индексами. Именно, полагают

Произведением тензоров А и В называется тензор типа имеющий в базисе ; координаты

Чтобы убедиться, что координаты определенные соотношением (8.30), преобразуются при переходе к другому базису по закону преобразования координат тензора, т. е. действительно представляют собой координаты тензора, достаточно записать формулы преобразования (8.19) для координат и тензоров А и В и перемножить правые и левые части этих формул. В результате, обращаясь к соотношению (8.30), легко получаются нужные формулы преобразования для координат

Замечание Операция умножения тензоров не обладает свойством перестановочности: вообще говоря, Это объясняется тем, что порядок следования индексов у координат тензора определяет «номер» этой координаты

Таким образом, хотя численное значение выражений

одинаково, порядок следования индексов у этих выражений различен, и поэтому они отвечают координатам с различными «номерами». Это и означает, что

4°. Свертывание тензора. Операция свертывания применяется к тензору типа которого к тензору, у которого имеется по крайней мере один верхний и один нижний индекс).

Пусть А — тензор указанного выше типа. Перейдем к описанию операции свертывания.

Свертывание тензора А производится по каким-либо отмеченным верхнему и нижнему индексам. При этом в результате свертывания получается тензор типа

Пусть, например, у каждой координаты тензора А отмечен верхний индекс с номером и нижний индекс с номером

Произведем суммирование (свертывание) координат тензора с одинаковыми выделенными индексами. Эта операция и дает следующие координаты тензора, полученного свертыванием по верхнему и нижнему индексам с номерами :

(в выражении (8.31) мы использовали соглашение о суммировании).

Проверим, что величины (8.31) действительно образуют координаты тензора типа Для этого обратимся к формулам (8.19). Перепишем эти формулы в следующем виде, выделив интересующие нас индексы (эти индексы мы подчеркнем квадратными скобками):

Произведем теперь суммирование в правой и левой частях (8.32) по выделенным индексам Для этого достаточно положить эти индексы равными а и воспользоваться соглашением о суммировании. В результате мы получим некоторое равенство. Найдем выражения в левой и правой частях этого равенства В левой части мы получим, очевидно, выражение

В правой же части произведение на равно 6, т. е. равно единице при и равно нулю при Таким образом, в правой части мы получим следующее выражение:

Сравнив выражения (8.33) и (8.34), мы убедимся, что величины преобразуются при переходе к новому базису по закону преобразования координат тензора. Очевидно, этот тензор будет типа .

Замечание Термин «свертывание тензоров» употребляется еще и в следующем смысле.

Рассмотрим два тензора А и В, у координат первого из которых имеется по крайней мере один верхний индекс к, а у координат второго — по крайней мере один нижний индекс .

Составим произведение этих тензоров и затем проведем операцию свертывания тензора по верхнему индексу и нижнему индексу Для этой операции обычно употребляется терминология: «свертывание тензоров А и В по индексам

5°. Перестановка индексов Эта операция заключается в том, что в любом базисе индексы у каждой координаты тензора подвергаются одной и той же перестановке. Это означает, что мы иным образом «нумеруем» координаты данного тензора. Читателю предлагается проверить, что в результате получается тензор (отличный, вообще говоря, от данного).

6°. Симметрирование и альтернирование. Предварительно введем понятия симметричного и кососимметричного тензоров.

Тензор А с координатами

называется симметричным по нижним индексам если при перестановке этих индексов координаты тензора А не меняют своего значения, т. е.

Соотношение (8.36) называется условием симметрии тензора А по нижним индексам с номерами тип.

Тензор А называется кососимметричным по нижним индексам если при перестановке этих индексов справедливо соотношение

Соотношение (8.37) называется условием кососимметрии тензора А по нижним индексам с номерами тип.

Аналогично вводится понятие симметрии и кососимметрии тензора по двум верхним индексам.

Замечание. Если условие симметрии (кососимметрии) по нижним индексам выполняется для тензора А в данной системе координат, то оно выполняется и в - любой другой системе координат.

Перейдем теперь к описанию операции симметрирования.

Пусть А — тензор типа с координатами (8.35). Переставим у каждой координаты нижние индексы с номерами тип и затем построим тензор с координатами

Операция построения тензора называется операцией симметрирования тензора А по нижним индексам с номерами тип.

Отметим, что координаты (8.38) тензора обычно обозначаются символами

Очевидно, для тензора выполняется условие симметрии (8.36) по нижним индексам с номерами тип.

Операция симметрирования тензора по верхним индексам с номерами шип определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом Для координат тензора используется обозначение, аналогичное обозначению (8.39) координат тензора

Операция альтернирования тензора А по нижним индексам с номерами производится следующим образом.

У каждой координаты тензора А переставляются нижние индексы с номерами типи затем строится тензор с координатами

Операция построения тензора называется операцией альтернирования тензора А по нижним индексам с номерами . Координаты (8.40) тензора обычно обозначаются символами

Очевидно, для тензора выполняется условие кососимметрии (8.37) по нижним индексам

Операция альтернирования тензора по верхним индексам определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом Для координат тензора используется обозначение, аналогичное обозначению (8.41) координат тензора

В заключение отметим очевидное равенство