5. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка.

Назовем инвариантом общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогональные такую функцию коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется при указанных преобразованиях пространства.

Докажем следующее утверждение!

Теорема 7.11. Инвариантами общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы и определитель матрицы В в соотношении (7.67). В частности, инвариантами являются и след матрицы А.

Доказательство. Очевидно, инвариантность перечисленных в условии теоремы величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса и преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный.

Рассмотрим сначала параллельный перенос. этого параграфа мы установили, что при этом преобразовании группа старших членов сохраняет свой вид (см. формулу Поэтому не меняется матрица А, а следовательно, и характеристический многочлен этой матрицы.

Докажем инвариантность

При параллельном переносе (7.68) (или (7.69)) матрица преобразуется в матрицу В, определитель которой, согласно (7.82), имеет вид

где величины 6 и с определяются по формулам (7.84) и (7.85).

Вычтем из элементов последней строки определителя (7.89) элементы первой строки, умноженные на затем элементы второй строки, умноженные на наконец, элементы строки, умноженные на Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя (7.84) и (7.85), получим

соотношение

Вычтем теперь из элементов последнего столбца определителя (7.90) элементы первого столбца, умноженные на затем элементы второго столбца, умноженные на наконец, элементы столбца, умноженные на Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя соотношение вытекающее из симметричности формы и формулу (7 84), мы получим в результате Итак, равенство доказано. Следовательно, инвариантен относительно параллельных переносов.

Рассмотрим теперь преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный.

Во-первых, убедимся, что коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы являются инвариантами рассматриваемого преобразования.

В предыдущем пункте мы установили, что при переходе к новому ортонормированному базису матрица А изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Но в таком случае, как следует из замечания § 2, гл. 5, коэффициенты характеристического многочлена этой матрицы не меняются при переходе к другому базису.

В частности, определитель и след матрицы А, как коэффициенты характеристического многочлена, являются инвариантами.

Нам останется доказать инвариантность определителя при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированный.

Приступим к этому доказательству.

Применим следующий прием. Введем обозначения

Тогда уравнение (7.66) гиперповерхности можно записать следующим образом:

где

Рассмотрим преобразование переменных в переменные при котором первые переменных преобразуются по формулам (7.75), а переменная преобразуется по формуле

Ясно, что это преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при преобразовании ортонормированного базиса евкли. дова пространства, причем матрица Р этого преобразования имеет вид

Легко видеть, что матрица Р удовлетворяет условию и поэтому является ортогональной. Но тогда, согласно п. 2 этого параграфа, ортонормированный базис преобразуется с помощью матрицы Р в ортонормированный базис. Выше было выяснено, что при таком преобразовании матрицы В квадратичной формы определитель этой матрицы представляет собой инвариант. Теорема доказана.

Замечание. Из рассуждений в доказательстве теоремы следует, что инвариантами общего уравнения гиперповерхности второго порядка будут также величины