§ 7. Унитарные и нормальные операторы

В этом параграфе рассматриваются свойства важного класса операторов, действующих в евклидовом пространстве V.

Определение Линейный оператор из называется унитарным, если для любых элементов х и у из V справедливо соотношение

В дальнейшем соотношение (5.88) будем называть условием унитарности оператора.

Замечание 1. Из условия (5.88) унитарности оператора следует, что для любого унитарного оператора справедливо равенство

Отметим следующее утверждение.

Если X — собственное значение унитарного оператора то

Действительно, если X — собственное значение то существует такой элемент что . Отсюда и из замечания 1 следуют соотношения . Утверждение доказано.

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.29. Для того чтобы линейный оператор действующий в евклидовом пространстве V, был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть оператор унитарный, т. е. выполнено условие (5.88). Обращаясь к определению сопряженного оператора можно переписать это условие в следующей форме

или, иначе, для любых х и у выполняется равенство

Фиксируя в этом равенстве любой элемент х и считая произвольным, получим, что линейный оператор действует по правилу

Следовательно, Совершенно аналогично можно убедиться, что

Таким образом, — взаимнообратные операторы, т. е. соотношение (5.89) выполнено. Необходимость условия теоремы доказана.

2) Достаточность. Пусть выполнено условие (5.89). Тогда, очевидно, Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим при любых х и у равенства

Таким образом, условие (5.88) унитарности оператора выполнено. Следовательно, оператор унитарный. Теорема доказана.

Замечание. 2. В процессе доказательства теоремы установлено, что условие (5.88) унитарности оператора и условие

эквивалентны. Таким образом, в основу определения унитарного оператора можно положить условие (5.91).

Это условие также можно называть условием унитарности оператора

Введем понятие нормального оператора.

Определение 2. Линейный оператор А называется нормальным, если справедливо соотношение

Обращаясь к условию (5.91) унитарности оператора и к условию (5.92), мы видим, что любой унитарный оператор является нормальным оператором.

Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть А — нормальный оператор. Тогда оператор А и оператор А имеют общий собственный элемент такой, что и справедливы соотношения

Доказательство. Пусть X — собственное значение оператора А, и пусть Иными словами, — множество всех элементов х таких, что

Убедимся теперь, что если х принадлежит то и принадлежит . Действительно, если то, поскольку А — нормальный оператор,

Иными словами, вектор является собственным вектором оператора А и отвечает собственному значению k, т. е. принадлежит

Рассматривая далее оператор А как оператор, действующий из в и используя вывод следствия из теоремы 5 8 о том, что каждый линейный оператор имеет собственное значение, мы можем утверждать, что в существует элемент такой, что и справедливы соотношения

Используя эти соотношения и условие найдем

Так как то, очевидно, . Лемма доказана.

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 5.30. Пусть А — нормальный оператор Тогда существует ортонормированный базис состоящий из собственных элементов операторов А и А.

Доказательство. Согласно только что доказанной лемме операторы А и А имеют принадлежащий V общий собственный элемент причем . Собственные значения для операторов А и А, соответствующие равны соответственно и

Пусть — ортогональное дополнение элемента до пространства V. Иными словами, — совокупность всех х, удовлетворяющих условию

Докажем, что если х принадлежит то принадлежат IV Действительно, если то

т. е. . Аналогично, если то

Таким образом, — инвариантное подпространство операторов А и А. Поэтому по только что доказанной лемме в подпространстве существует общий собственный элемент операторов А и А такой, что

Далее мы обозначим через ортогональное дополнение элемента до . Рассуждая так же, как и выше, мы докажем, что в есть общий собственный элемент операторов А и А такой, что Продолжая аналогичные рассуждения, мы, очевидно, построим в пространстве V ортонормированный базис состоящий из собственных элементов операторов А и А. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть А — нормальный оператор Существует базис в котором А имеет диагональную матрицу.

Действительно, по только что доказанной теореме существует базис из собственных векторов оператора А. Согласно теореме 5 9 в этом базисе матрица оператора А диагональна.

Следствие 2. Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

Следующая теорема является обратной для теоремы 5.30. Теорема 5.31. Если у действующего в n-мерном евклидовом пространстве V оператора А имеется попарно ортогональных собственных элементов то оператор А нормальный.

Доказательство. Пусть — попарно ортогональные собственные векторы оператора А. Тогда , согласно (5 69), имеет место следующее представление оператора А.

Докажем, что сопряженный оператор А действует по правилу

Достаточно доказать, что для операторов А и А, определяемых соотношениями (5.69) и (5.93), справедливо равенство

Подставляя в левую часть этого равенства выражение по формуле (5.93), получим после несложных преобразований

Таким образом, равенство (5.94) доказано, и поэтому оператор А, действующий по правилу (5.93), является сопряженным к оператору А.

Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно убедиться в справедливости равенства (5.92):

Имеем, согласно (5.93) ,

Итак, для операторов А и А справедливо равенство (5 92), и, следовательно, оператор А является нормальным. Теорема доказана.