§ 2. Отыскание решений линейной системы

Теорема Кронекера—Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений этой системы.

В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (3.1). Сначала мы рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (3.1).

1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля.

Пусть дана квадратная система линейных уравнений

с отличным от нуля определителем основной матрицы

Докажем, что такая система имеет и притом единственное решение, и найдем это решение. Сначала докажем, что система (3.10) может иметь только одно решение (т. е. докажем единственность решения системы (3.10) в предположении его существования).

Предположим, что существуют какие-либо чисел такие, что при подстановке этих чисел в систему (3.10) все уравнения этой системы обращаются в тождества (т. е. существует некоторое решение системы Тогда, умножая тождества (3.10) соответственно на алгебраические дополнения элементов столбца определителя матрицы (3.11) и складывая затем получающиеся при этом тождества, мы получим (для любого номера равного

Учитывая, что сумма произведений элементов столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов столбца равна нулю при и равна определителю А матрицы (3.11) при мы получим из последнего равенства

Обозначим символом (или более кратко символом определитель, получающийся из определителя основной матрицы (3.11) заменой его столбца столбцом из свободных членов (с сохранением без изменения всех остальных столбцов ).

Заметим, что в правой части (3.12) стоит именно определитель и это равенство принимает вид

Поскольку определитель матрицы (3.11) отличен от нуля, равенства (3.13) эквивалентны соотношениям

Итак, мы доказали, что если решение системы (3.10) с определителем основной матрицы (3.11), отличным от нуля, существует, то это решение однозначно определяется формулами (3.14).

Формулы (3.14) называются формулами Крамера

Еще раз подчеркнем, что формулы Крамера пока получены нами в предположении существования решения и доказывают его единственность.

Остается доказать существование решения системы (3.10). Для этого в силу теоремы Кроиекера—Капелли достаточно доказать, что ранг основной матрицы (3.11) равен рангу расширенной матрицы

но это очевидно, ибо в силу соотношения , ранг основной матрицы равен а ранг содержащей строк расширенной матрицы (3.15) больше числа быть не может и потому равен рангу основной матрицы.

Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (3.10) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое формулами Крамера (3.14).

Доказанное нами утверждение еще проще устанавливается матричным способом. Для того чтобы сделать это, заменим (как и в п. 1 § 1) систему (3.10) эквивалентным ей матричным уравнением

где А — основная матрица системы (3.11), а X и В — столбцы

первый из которых подлежит определению, а второй задан.

Так как определитель матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица (см. п. 7 § 2 гл. 1).

Предположим, что существует решение системы (3.10), т. е. существует столбец X, обращающий в тождество матричное уравнение (3.16). Помножая указанное тождество слева на обратную матрицу будем иметь

Учтем теперь, что в силу сочетательного свойства произведения трех матриц (см. п. 2 § 1 гл. 1) и в силу соотношения

где Е — единичная матрица (см. п. 7 § 2 гл. 1), , так что мы получим из (3.17)

Развертывая равенство (3.18) и учитывая вид обратной матрицы, мы и получим для элементов столбца X формулы Крамера.

Итак, мы доказали, что если решение матричного уравнения (3.16) существует, то оно однозначно определяется соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера.

Легко проверить, что столбец X, определяемый соотношением (3.18), в самом деле является решением матричного уравнения (3.16), т. е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле, если столбец X определяется равенством (3.18), то .

Итак, если определитель А матрицы А отличен от нуля (т. е. если эта матрица является невырожденной), то существует и притом единственное решение матричного уравнения (3.16), определяемое соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера.

Пример. Найдем решение квадратной системы линейных уравнений

с отличным от нуля определителем основной матрицы

Поскольку

то в силу формул Крамера единственное решение рассматриваемой системы имеет вид

Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями (для решения системы уравнений с неизвестными приходится вычислять определитель n-го порядка). К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.

В § 4 гл. 4 будет изложен метод регуляризации, принадлежащий А. Н. Тихонову и позволяющий находить решение линейной системы с точностью, соответствующей точности задания матрицы коэффициентов уравнений и столбца свободных членов, а в главе 6 дается представление о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных.

В заключении отметим, что в этом пункте мы исключили из рассмотрения случай обращения в нуль определителя А основной матрицы системы (3.10). Этот случай будет содержаться в общей теории систем линейных уравнений с неизвестными, излагаемой в следующем пункте.