2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов.

Пусть — базис в евклидовом пространстве Базис называется взаимным для базиса если выполняются соотношения

при

Символ называется символом Кронекера.

Возникает вопрос о существовании и единственности взаимного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный: для любого данного базиса существует единственный взаимный

базис. Для доказательства поступим следующим образом. Пусть координаты искомых векторов в базисе

Умножая скалярно обе части последних равенств на получим, используя (8.2),

Соотношения (8.4) при фиксированном можно рассматривать как квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных координат вектора в базисе Так как определитель системы (8.4) представляет собой определитель Грама базисных векторов он, согласно следствию из теоремы 8.1, отличен от нуля, и поэтому система (8.4) имеет единственное решение которое будет ненулевым, поскольку эта система неоднородная. Затем с помощью соотношений (8.3) строятся векторы которые, очевидно, удовлетворяют соотношениям (8.2).

Мы должны еще убедиться, что векторы образуют базис

Пусть некоторая линейная комбинация этих векторов равна нулю

Умножая скалярно последнее равенство последовательно на и используя (8.2), получим Следовательно, векторы линейно независимы, т. е. образуют базис.

Итак, взаимный базис и для базиса существует и определяется единственным образом.

Замечание 1. В силу симметрии соотношений (8.2) относительно взаимным базисом для базиса будет базис Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о взаимных базисах

Замечание 2. Если базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с данным базисом. Действительно, полагая в этом случае мы убедимся, что соотношения (8.2) выполняются. Используя свойство единственности взаимного базиса, мы убедимся в справедливости замечания.

Пусть — взаимные базисы, произвольный вектор пространства. Разлагая вектор х по базисным векторам получим

Координаты вектора х в базисе называются ковариантными кооординатами вектора х, а а координаты этого вектора в базисе называются контравариантными координатами вектора х. Эти наименования будут разъяснены в следующем пункте.

Для сокращения записи формул, в которых фигурируют однотипные слагаемые (примерами таких формул могут служить соотношения (8.5)), мы будем пользоваться в дальнейшем соглашением о суммировании. Это соглашение заключается в следующем. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов, часть из которых нижние, а другая часть — верхние. При этом договариваются все нижние индексы обозначать различными символами Верхние индексы также договариваются обозначать различными символами. Если в этом выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то считают, что по этим индексам производится суммирование, т. е. индексам последовательно даются значения а затем складываются полученные слагаемые.

Например,

С помощью соглашения о суммировании формулы (8.5) записываются следующим компактным образом:

Замечание 3. Верхние и нижние одинаковые индексы, о которых говорилось в соглашении о суммировании, обычно называются индексами суммирования. Ясно, что индексы суммирования могут обозначаться любыми одинаковыми символами. При этом не изменится выражение, в которых они фигурируют. Например, представляют собой одно и то же выражение.

Получим теперь явное выражение для ковариантных и контравариантных координат вектора х.

Для этого умножим скалярно первое из равенств (8.6) на , а второе на . Учитывая затем соотношения (8.2), найдем

Итак,

С помощью соотношений (8.7) запишем формулы (8.6) в следующем виде:

Соотношения (8.8) называются формулами Гиббса.

Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов.

С помощью формул (8.8) имеем

Введем обозначения

С помощью этих обозначений перепишем соотношения (8.9) следующим образом:

Итак, для построения базиса по базису достаточно знать матрицу а для построения базиса по базису достаточно знать матрицу

Докажем, что указанные матрицы взаимно обратны Отметим, что так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помощью соотношений (8.11) решается вопрос о построении взаимных базисов

Итак, установим, что матрицы взаимно обратны.

Умножая первое из равенств (8.11) скалярно на получим Из этого соотношения, учитывая (8.2) и (8.10), найдем

Таким образом, произведение матриц представляет собой единичную матрицу Следовательно, матрицы взаимно обратны.