§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм

1. Закон инерции квадратичных форм.

Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.

Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания.

Пусть форма в базисе определяется матрицей

где — координаты вектора x в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду

причем - отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты — отрицательные:

Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат

В результате этого преобразования форма примет вид

называемый нормальным видом квадратичной формы.

Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат вектора х в базисе

(это преобразование представляет собой произведение преобразований формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).

Докажем следующее утверждение:

Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Доказательно. Пусть форма с помощью невырожденного преобразования координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду

Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства

Пусть . Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что по отношению к базисам, в которых форма имеет вид (7.31) и (7.33) координаты и этого вектора равны нулю:

Так как координаты получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат координаты — с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х в базисе (например, в развернутом виде соотношение имеет, согласно (7.32), вид ). Так как то число однородных уравнений (7.34) меньше и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат искомого вектора х. Следовательно, если то существует ненулевой вектор х, для которого выполняются соотношения (7.34).

Подсчитаем значение формы для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям (7.31) и (7.33), получим

Последнее равенство может иметь место лишь в случае . Таким образом, в некотором базисе все координаты ненулевого вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7.34)), т. е. вектор х равен нулю. Следовательно, предположение ведет к противоречию. По аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение

Итак, Теорема доказана.